Zuletzt habe ich vor wenigen Wochen in meinem Urlaub eine Entscheidung per Münzwurf gefällt: Es ging um die Wahl zwischen zwei Restaurants – und ich habe das Ergebnis nicht bereut. Schon in der Antike nutzten die Römer Münzen, um Streitigkeiten zwischen zwei Parteien zu schlichten. Und im Jahr 1903 entschieden die Gebrüder Wright anhand einer Münze, wer den Jungfernflug antreten sollte. Im Sport werden Münzwürfe für gewöhnlich eingesetzt, um etwa beim Fußball das Team zu wählen, das den Anstoß macht. Tatsächlich wurden in der Vergangenheit auch politische Entscheidungen durch Münzwürfe getroffen: so bei der knappen Vorwahl der Demokraten in Iowa 2018, als Bernie Sanders und Hillary Clinton in einigen Bezirken gleichauf waren (tatsächlich gewann Clinton alle Münzwürfe und trug so den Sieg davon).

Münzwürfe sind beliebt, weil sie eine einfache Art von Zufallsgenerator bilden: Mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit zeigen sie nach der Landung Kopf oder Zahl. So zumindest lautet die gängige Annahme. Dem widersprechen jedoch die Mathematiker Persi Diaconis, Susan Holmes und Richard Montgomery in einer 2007 veröffentlichten Arbeit. Die Seite der Münze, die vor dem Wurf obenauf liegt, lande mit höherer Wahrscheinlichkeit auch nach dem Wurf oben. Sprich: Wenn man eine Münze mit dem Kopf nach oben zeigend auf den Daumen legt und die Münze wirft, dann zeigt sie danach wahrscheinlicher Kopf an als Zahl. Allerdings falle der Unterschied mit einer Differenz von nur einem Prozent recht gering aus. Dass die Münze zu Beginn und am Ende dieselbe Seite zeigt, liegt den Berechnungen von Montgomery, Holmes und Diaconis zufolge bei 51 Prozent.

Als der Mathematiker František Bartoš, heute an der Universität Amsterdam, während seines Masterstudiums von diesem Ergebnis hörte, wollte er es sofort testen. In der Geschichte gab es zwar zahlreiche Experimente mit Münzwürfen (zum Beispiel warf der Mathematiker Karl Pearson im 19. Jahrhundert 24 000-mal eine Münze). Doch dabei wurde nicht verzeichnet, welche Seite der Münze vor dem Wurf oben lag – die Fachleute notierten bloß, ob Kopf oder Zahl herauskam, und fanden stets eine ungefähre 50:50-Verteilung vor. Bartoš aber war klar: Um wirklich einen statistischen Unterschied zwischen den von Montgomery und seinen Kollegen vorhergesagten 51 Prozent und den sonst angenommenen 50 Prozent festzustellen, sind viele Münzwürfe nötig. Sehr viele.

Eine Menge Überredungsarbeit ist gefordert

Allein konnte Bartoš das nicht bewältigen – er brauchte Unterstützung. Zunächst schlug er Bekannten vor, an einem Wochenende einen »Herr der Ringe«-Marathon zu starten und während sie die Filme schauten, Münzen zu werfen. »Doch niemand hatte da wirklich Lust drauf«, sagte Bartoš dem Journalisten Daniel Lawler von der Nachrichtenagentur AFP. Also beauftragte er zunächst fünf Studierende, im Rahmen ihrer Bachelorarbeit insgesamt 75 036 Münzwürfe zu dokumentieren.

»Manche Leute sehen sich gemeinsam Filme an, andere werfen zwölf Stunden lang Münzen«František Bartoš, Mathematiker

Im Anschluss schaffte er es, 35 Personen zu überzeugen, wann immer Zeit dafür blieb – während der Mittagspause oder sogar während des Urlaubs – Münzen zu werfen. Selbst zu Münzwurf-Marathons (ganz ohne »Herr der Ringe«), konnte er sie überreden: Von 9 Uhr bis teilweise 21 Uhr saßen Freiwillige beisammen und warfen Münzen. »Wenn du mit deinen Freunden in einem Raum sitzt, Musik hörst und dich unterhältst, ist das eine schöne Beschäftigung«, sagte Bartoš dem »New Scientist«. »Manche Leute sehen sich gemeinsam Filme an, andere werfen zwölf Stunden lang Münzen. Es ist eigentlich viel angenehmer, als man erwarten würde.«

Auf diese Weise dokumentierten Bartoš und seine Mitstreiter 203 440 Münzwürfe. Doch das war Bartoš nicht genug: Er startete im Dezember 2022 einen Aufruf auf X (vormals Twitter), dem sich sieben weitere Personen anschlossen und 72 281-mal Münzen warfen. Bis zum Herbst 2023 hatte Bartoš somit 49 Personen rekrutiert, die insgesamt 46 Münzen unterschiedlicher Währung 350 757-mal geworfen haben.

Die Ergebnisse veröffentlichte Bartoš in einer bislang noch nicht begutachteten Arbeit. 178 078-mal zeigte die Münze nach dem Wurf dieselbe Seite an, mit der sie anfangs obenauf lag, also in 50,76 Prozent aller Fälle – was ziemlich nah an dem von Montgomery, Holmes und Diaconis vorhergesagten Ergebnis von 51 Prozent liegt.

Ein von der Magie inspiriertes Münzwurf-Modell

Die drei Mathematiker hatten diesen Wert 2007 berechnet, als sie die Dynamik eines Münzwurfs genauer untersuchten. In der Regel wird eine Münze dabei auf den Daumen gelegt, der sie nach oben schnippt. Dadurch dreht sich die Münze um die eigene Achse und landet dann wieder in der ausgestreckten Hand. Doch wenn der Daumen die Münze nicht genau mittig trifft, sondern seitlich, beginnt sie in der Luft zu eiern (Physiker sprechen von Präzession). Das lässt sich mit bloßem Auge kaum erkennen, kann aber dazu führen, dass sich die Münze kaum – bis gar nicht – dreht.

Dieses Herumeiern erhöht daher die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze auf derselben Seite landet, von der sie auch gestartet ist. Diese Tatsache ist nicht unbekannt: Zauberer haben diesen Trick so perfektioniert, dass sich eine Münze beim Wurf gar nicht mehr dreht – somit wird der Münzwurf zu einem eindeutig vorhersagbaren Ergebnis. Interessanterweise war Diaconis, einer der Koautoren der 2007 erschienenen Veröffentlichung, vor seiner Karriere als Mathematiker zehn Jahre lang als Zauberer tätig. Wahrscheinlich hat ihn diese Erfahrung zu der Arbeit inspiriert.

Als Bartoš und sein Team die hunderttausende durchgeführten Münzwürfe auswerteten, fiel ihnen auf, dass das Ergebnis offenbar stark von der Wurftechnik einer Person abhängt. Bei manchen Personen landete die Münze in bis zu 60,1 Prozent aller Fälle auf derselben Seite, die anfangs obenauf lag, während es bei anderen in nur 48 Prozent der Fälle so war.

Sollte man also auf eine Münze als Zufallsgenerator verzichten? Wohl eher nicht. Einerseits wird man wohl kaum einen Unterschied zwischen einer 51:49- und einer 50:50-Verteilung bemerken, wenn man nicht gerade wie Bartoš und seine Mitstreiter eine Münze 350 757-mal wirft. Andererseits landeten von den dokumentierten Würfen 175 420 der Münzen mit Kopf nach oben: also 50,01 Prozent aller Fälle. Wenn man also nicht darauf achtet, wie man die Münze auf den Daumen legt und sich vorab für Kopf oder Zahl entscheidet, wird das Ergebnis noch immer fair verteilt sein. Das dürfte Sportfans erleichtern. Ob allerdings ein Münzwurf bei politischen Entscheidungen herangezogen werden sollte, steht auf einem ganz anderen Blatt.