Die Zahl 12 hat jede Menge interessante und praktische Eigenschaften. Deswegen taucht sie in unserem Alltag auch immer wieder auf: bei den Monaten eines Jahres, dem Zifferblatt von Uhren und so weiter. Wenig mit unserem Alltag hat jedoch die Tatsache zu tun, dass die 12 eine sogenannte erhabene Zahl ist.

Das bedeutet: Sowohl die Anzahl ihrer positiven Teiler als auch die Summe dieser ist eine vollkommene Zahl. Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12 – also insgesamt 6 Stück. Um eine vollkommene Zahl zu sein, muss die Summe ihrer echten Teiler gleich der Zahl selbst sein, was bei der 6 und ihren Teilern 1, 2 und 3 der Fall ist. Die Summe aller Teiler der 12 ist 28 und auch das ist eine vollkommene Zahl. Die 12 ist also doppelt vollkommen und damit erhaben.

Zahlen dieser Art sind selten. Wir kennen bisher nur eine einzige weitere erhabene Zahl, nämlich 6 086 555 670 238 378 989 670 371 734 243 169 622 657 830 773 351 885 970 528 324 860 512 791 691 264.

Das kommt überraschend! Was hat die 12 mit einer solch absurd großen Zahl zu tun? Gefunden wurde die Zahl mit folgender Formel:

Die Details der Formel würden den Rahmen dieser Kolumne sprengen, aber die Gleichung basiert auf der Primfaktorzerlegung von Zahlen und der Tatsache, dass sich jede gerade vollkommene Zahl durch Mersenne-Primzahlen (die die Form 2^k – 1 haben) erzeugen lässt. Mit einigen weiteren zahlentheoretischen Aussagen bekommt man damit eine Konstruktionsanleitung für erhabene Zahlen, die der obigen Formel entspricht. In der Gleichung muss 2^q – 1 eine Primzahl sein. Es muss außerdem auch q = 2^p – 1 gelten und q muss ebenfalls eine Primzahl sein (p übrigens auch). Zudem muss sich q – 1 insgesamt in p – 1 unterschiedliche Primzahlen l₁, …, l_p-1 aufteilen lassen, sodass m_i= 2^li – 1 ebenfalls Primzahlen sind. Sind all diese Bedingungen erfüllt, dann ist N eine erhabene Zahl.

Das klingt alles etwas verwirrend, deswegen können wir als Beispiel den Fall p = 2 betrachten. Damit folgt q = 2² – 1 = 3 und 2^q – 1 = 7. Bis jetzt passt alles, und q – 1 = 2 ergibt zuerst l₁ = 2 und m₁ berechnet sich zu 3. Mit der obigen Formel erhalten wir dann N = 2^(3 – 1) · 3 = 12, und damit die erste erhabene Zahl.

Es sind nur zwei erhabene Zahlen bekannt

Wie sieht es mit der nächsten Primzahl, p = 3 aus? q und 2^q - 1 sind ebenfalls Primzahlen, aber damit alle Bedingungen erfüllt sind, müssten wir nun auch noch zwei unterschiedliche Primzahlen finden, deren Summe gleich 6 ist. Doch das ist unmöglich. Wir scheitern auch bei p = 5 an dieser Bedingung. Bei p = 7 haben wir dagegen wieder Glück. Ich lasse die etwas langwierige Rechnerei aus, aber am Ende ergibt sich aus der Formel die Zahl: N = (2¹²⁶)(2⁶¹ – 1)(2³¹ – 1)(2¹⁹ – 1)(2⁷ – 1)(2⁵ – 1)(2³ – 1).

Und das entspricht der absurd großen, zweiten erhabenen Zahl. Bis jetzt sind keine weiteren erhabenen Zahlen bekannt. Kein Wunder, denn diese beiden Beispiele zeigen schon, wie schnell sie anwachsen. Der rechnerische Aufwand, um die Bedingungen der Konstruktionsvorschrift zu prüfen, wird immer größer. Bislang ist es nicht gelungen, eine andere Methode zur Berechnung erhabener Zahlen zu finden.

Konkrete Anwendungen hat dieses Wissen übrigens nicht. Aber die Beschäftigung mit dem Thema ist ein bisschen wie ein Blick in den Sternenhimmel. Die Größe des Alls und die Unendlichkeit der Mathematik lassen einen gleichermaßen staunend und sprachlos zurück. Und so ist es durchaus passend, die dafür verantwortlichen Zahlen als »erhaben« zu bezeichnen.