Eine Kugel ist aus Sicht der Mathematik eigentlich recht simpel. Es handelt sich um die Menge aller Punkte im dreidimensionalen Raum, die den gleichen Abstand von einem vorgegebenen Mittelpunkt haben. Bei genauerer Betrachtung wird die simple Kugel aber sehr schnell sehr seltsam:

Diese Formel stammt aus dem Satz von Banach und Tarski (auch Banach-Tarskisches-Kugelparadoxon), und sie beschreibt, was passiert, wenn man eine Kugel K in Teilmengen zerlegt und wieder zusammenfügt. Eigentlich würde man erwarten, dass der Prozess so funktioniert wie ein Puzzle: Aus all den Stücken, die aus der einen Kugel entstehen, kann man am Ende auch wieder genau eine Kugel zusammensetzen. Die beiden Mathematiker Stefan Banach und Alfred Tarski zeigten 1924 allerdings, dass hier etwas viel Seltsameres passiert. Zerlegt man eine Kugel in einzelne Stücke und verschiebt und dreht diese Stücke dann auf eine bestimmte Art und Weise, dann kann man am Ende zwei Mengen unterschiedlicher Stücke (in der Formel beschrieben durch A_i und B_j) finden, die vereint jeweils wieder die ursprüngliche Kugel ergeben.

Oder anders gesagt: Man kann eine Kugel in Stücke zerlegen und daraus zwei neue Kugeln zusammensetzen, die beide mit der ursprünglichen Kugel identisch sind. Das widerspricht jeglicher Intuition und wird deswegen auch Banach-Tarski-Paradoxon genannt.

Der Widerspruch entsteht vor allem deswegen, weil wir uns bei einer Kugel fast immer ein physisches Objekt vorstellen. Also ein konkretes Ding, das ein konkretes Volumen hat, und wenn sich dieses Volumen plötzlich verdoppelt, empfinden wir das zu Recht als Paradoxon. In der Mathematik ist eine Kugel aber kein physisches Objekt, sondern einfach "nur" eine Menge, die aus unendlich vielen Punkten besteht. Und genau hier findet sich auch die Ursache für das Paradoxon. Das, was die Physik unter "Raum" oder "Volumen" versteht, ist nicht gezwungenermaßen dasselbe wie das, was die Mathematik beschreibt. Wenn die Mathematik eine Kugel als Punktmenge definiert, dann entsteht so zwar etwas, was auf den ersten Blick einer physikalischen Sphäre ähnlich ist. Aber die mathematische Definition enthält zusätzliche Eigenschaften, die man in der Realität der physikalischen Welt nicht finden kann.

Man kann den dreidimensionalen Raum – mathematisch – auf so viele und so komplexe Arten in Teilmengen zerlegen, dass es nicht mehr möglich ist, eine mathematische Funktion zu definieren, die diesen Mengen etwas zuordnet, was man physikalisch eindeutig als Volumen interpretieren kann. Genauer gesagt: ein bewegungsinvariantes Volumen, das sich nicht verändert, wenn die Mengen Drehungen oder Verschiebungen unterworfen sind.

Eine genauere Betrachtung des Banach-Tarski-Paradoxons führt schnell in die seltsame Welt der fraktalen Gebilde und nicht messbaren Mengen. Doch vor allem zeigt uns dieses Paradoxon, dass die Mathematik sehr viel mehr ist als nur eine Hilfswissenschaft beziehungsweise ein Werkzeug der Naturwissenschaft. Das ist sie zwar auch, und sie ist eines der wichtigsten Werkzeuge, das den Naturwissenschaftlern zur Verfügung steht. Die Welt der Mathematik geht aber weit über die von der Realität eingeschränkte Welt der Natur hinaus!

In der Welt der Mathematik existiert alles, was logisch und widerspruchsfrei aus den grundlegenden Annahmen gefolgert werden kann. Hier kann alles erforscht werden, was logisch und widerspruchsfrei gedacht werden kann. Eine Kugel, aus der zwei werden, mag für uns zwar alles andere als logisch erscheinen. Aber das zeigt eben nur, dass wir der Mathematik Unrecht tun, wenn wir ihr die physikalische Realität als Grenze aufzwingen. Ihre Faszination kann sie nur entfalten, wenn sie jedem Gedanken bis zu seiner logischen Konsequenz folgt – gleich wie paradox das Ergebnis uns erscheinen mag.