Das unendlich Große und Kleine hat die Menschen schon immer fasziniert – und die Mathematiker lange Zeit zur Verzweiflung getrieben. Mit Zahlen konnte man rechnen. Man dachte sich immer neue Zahlen aus: negative, irrationale und sogar imaginäre – sobald diese Zahlen jedoch über alle Grenzen hinauswuchsen oder schrumpften, war man ratlos.

Der große Mathematiker und Philosoph René Descartes schrieb in seinen "Prinzipien der Philosophie": "Wir werden uns deshalb nicht mit Antworten auf die Frage mühen, ob die Hälfte einer unendlichen Linie ebenfalls unendlich sei oder ob die unendliche Zahl gleich oder ungleich sei und Ähnliches; denn nur der, welcher seinen Geist für unendlich hält, kann meinen, hierüber nachdenken zu müssen." Einer, der seinen Geist vermutlich sehr wohl für unendlich hielt, war Isaac Newton, und er schreckte nicht vor diesen Gedanken zurück. Auch er hatte zwar mit den Schwierigkeiten der Unendlichkeit zu kämpfen, fand aber am Ende doch eine mathematische Methode, um damit klarzukommen (genauso wie unabhängig von ihm Gottfried Wilhelm Leibniz).

Das erste Lehrbuch zu dieser neuen "Infinitesimalrechnung" erschien schon 1696. Autor war der französische Mathematiker Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital. Sein Buch trug maßgeblich dazu bei, die neue Technik bei den europäischen Gelehrten bekannt zu machen.

Wer heute Mathematik studiert, trifft schon ziemlich früh auf eine der wichtigsten Aussagen dieses Buchs. Die "Regel von de l'Hospital" lautet (etwas vereinfacht) folgendermaßen:

Es geht dabei um ein klassisches Problem: Was stellt man mit Ausdrücken der Form 0/0 oder ∞/∞ an? Wie teilt man etwas durch null oder unendlich? De L'Hospital betrachtet in seiner Regel zwei Funktionen f(x) und g(x) und will wissen, was passiert, wenn x sich einem bestimmten Wert x₀ annähert. Wie sieht dann der so genannte Grenzwert (der "Limes") aus? Das zu berechnen, ist oft kein Problem, kann aber zu einem werden, wenn man es dabei mit der Unendlichkeit beziehungsweise der Null zu tun hat.

Betrachten wir etwa die Funktionen f(x) = sin(x) und g(x) = tan(x). Was passiert, wenn sich x immer weiter einem x₀ = 0 annähert? Sowohl der Sinus als auch der Tangens von null ist gleich null. Wir landen also bei einem unbestimmten Ausdruck der Form 0/0. De l'Hospitals Regel sagt uns nun, dass wir stattdessen einfach die Ableitung der Funktionen betrachten können und der Grenzwert (sofern er existiert) identisch mit dem ursprünglich gesuchten ist. In diesem Fall erhalten ist die Ableitung von sin(x) = cos(x) und tan(x) wird zu 1/cos²(x). Durcheinander geteilt erhalten wir die Funktion cos³(x), und wenn hier x sich immer weiter der Null nähert, dann nähert sich der Wert der Funktion immer weiter der Eins (da cos(0) = 1).

Bernoullis Regel

Dank de l'Hospital wissen wir also, dass der von uns gesuchte Grenzwert gleich eins ist und wir uns nicht weiter um das unbestimmte 0/0 kümmern müssen. Natürlich hätte man das Beispiel auch einfacher lösen können, denn wenn man den Sinus durch den Tangens teilt, erhält man direkt den Cosinus. Aber so einfach ist es eben nicht immer, und die Regel funktioniert auch bei weitaus komplizierteren Ausdrücken.

Dass wir heute in der Mathematik mit den Unendlichkeiten genauso arbeiten können wie mit dem Rest der Zahlen, verdanken wir der Pionierarbeit von Newton, Leibniz und Bernoulli. Denn Letzterer war der eigentliche Urheber der Inhalte von de l'Hospitals Buch. Dass der Franzose die mathematischen Entdeckungen vom Schweizer Bernoulli gekauft und selbst veröffentlicht hat, wurde allerdings erst im 20. Jahrhundert bei der Durchsicht alter Manuskripte entdeckt. Und da war es schon zu spät, diese praktische und vielfach verwendete Regel umzutaufen – obwohl sie eigentlich "Bernoullis Regel" heißen sollte.