Von speziellem Interesse unter den Morphismen ist in der theoretischen Physik der Diffeomorphismus. Dieser spezielle Homomorphismus ist invertierbar und eine 'glatte' Abbildung.

Einsteins Theorie braucht keine Bühne

Was hat das mit Physik zu tun? Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) diktiert Diffeomorphismusinvarianz. Eine treffende und anschauliche Übersetzung dieser Eigenschaft ist Hintergrundunabhängigkeit. Ein 'Hintergrund' ist eine nicht-dynamische, also statische, Struktur, auf der die physikalischen Objekte agieren (siehe auch Hintergrundmetrik). In diesem Sinne ist Hintergrund die Bühne der Physik. Die knappe Aussage der ART ist nun, dass es diese statische Bühne nicht gibt! Es ist nicht von Belang, wo die physikalischen Objekte in einer Raumzeit lokalisiert sind (absolute Positionierung), sondern wie sie relativ zueinander stehen (relationale Positionierung). Der Diffeomorphismus bewerkstelligt gerade mathematisch eine 'Verschiebung' der dynamischen, physikalischen Objekte. Die gerade beschriebene Unabhängigkeit (Invarianz) von dieser Verschiebung mündet gerade in die Diffeomorphismusinvarianz (engl. Abkürzung diff-invariance). Alle allgemein relativistischen Theorien sind notwendig diffeomorphismusinvariant.

Bezug zur Loop-Quantengravitation

Diese Eigenschaft ist eine wichtige Voraussetzung für die Loop-Quantengravitation (LQG). Weil sie die Konzepte von Quantenmechanik und ART zu vereinen sucht, geht auch die Hintergrundunabhängigkeit wesentlich ein. Damit unterscheidet sie sich deutlich von dem kanonischen Zugang in den Quantenfeldtheorien (QED, QCD etc.) und den Stringtheorien. Denn in beiden Fällen agieren die dynamischen Objekte, die (Eich-)Feldervor einem Hintergrund. Man kann sagen, dass die konzeptionellen Implikationen der ART in diesen Theorien nicht richtig verinnerlicht sind.
Einer der Pioniere auf dem Gebiet der LQG, der theoretische Physiker Carlo Rovelli, drückt es so aus:

'Pictorially, GR is not physics over a stage, it is the dynamical theory of the stage itself.',
Übersetzung: 'Anschaulich ist die ART nicht die Physik auf einer Bühne, sondern eine dynamische Theorie der Bühne selbst'.