Orthogonalität, Spezialität und Unitarität sind bestimmte Eigenschaften von Transformationsmatrizen – oder allgemeiner gesprochen von Operatoren.

Motivation

Operatoren sind besonders relevant in der Quantentheorie, weil sie dort in Form von Operatorgleichungen Quantensysteme beschreiben.
Transformationen können Gruppen oder Symmetriegruppen bilden und sind dann besonders wichtig in der Gruppentheorie der Physik, wie sie besonders in der Teilchenphysik angewandt wird.

Was ist nun Orthogonalität?

Die Eigenschaft Orthogonalität ist symbolisch in der Gleichung rechts dargestellt. Sie besagt: Falls das Transponierte (hoch gestelltes T) der quadratischen Matrix O gleich dem Inversen (hoch gestellte -1) der Matrix entspricht, so heißt die Matrix O orthogonal.
Eine m × n-Matrix ist eine Anordnung von m Spalten und n Zeilen. Ist m = n so heißt die Matrix quadratisch. Transponieren ist eine Matrixoperation, bei der man Spalten und Zeilen miteinander vertauscht. In der Matrizenrechnung ist genau definiert, wie man Matrizen miteinander multipliziert. Die inverse Matrix O^-1 ist hier gerade diejenige Matrix, die multipliziert mit der gegebenen Matrix O die Einheitsmatrix ergibt. Die Einheitsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen 1 stehen und sonst nur 0.