Eine Symmetriegruppe oder Invarianzgruppe ist eine mathematische Gruppe, deren zugeordnete Transformation Symmetrien zulässt. Hier untersucht der Theoretiker also Symmetrie- bzw. Transformationsgruppen, die eng mit Symmetrieoperatoren assoziiert sind. Die Methodik ist die Folgende: Eine beliebige Transformation (Abbildungsvorschrift, z.B. Drehung oder Verschiebung) sei gegeben. Der Theoretiker prüft nun die Kriterien dafür, ob diese Transformation als mathematische Operation die Gruppeneigenschaften (Abgeschlossenheit, neutrales Element, inverses Element, Assoziativität) erfüllt. Eine abelsche Gruppe genügt zudem der Kommutativität. Dann untersucht er, welche Gebilde (Lagrangedichten, Bewegungsgleichungen, Raumzeit etc.) durch die Transformation invariant gelassen werden.

einige Symmetriegruppen der Physik

Die historisch erste Symmetriegruppe war wohl die Galileigruppe. Die zugehörige Galilei-Transformation lässt die klassischen Newtonschen Gravitationsgesetze invariant. Die (Allgemeine) Lorentzgruppe hingegen basiert auf der (Allgemeinen) Lorentz-Transformation und lässt die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie invariant. Die Poincarégruppe ist von besonderer Bedeutung für die Spezielle Relativitätstheorie. Die assoziierte Poincaré-Transformation lässt die Minkowski-Metrik invariant.
Das Konzept ist erweiterbar und wurde vor allem in den Quantenfeldtheorien, wie der Quantenelektrodynamik, der Quantenchromodynamik, der schwachen Wechselwirkung und elektroschwachen Theorie oder der Quantengravitation angewandt. Hier gelingt die mathematische Formulierung von Symmetrien mit der Gruppentheorie und führt auf ein übergeordnetes Konstrukt, den Eichtheorien.
Die mathematische Physik kennt viele Beispiele für Symmetriegruppen, die unter dem Lexikoneintrag Gruppe eingehend diskutiert werden.

unitäre Physik

Man klassifiziert die Transformationsgruppe nach den Eigenschaften dieses Operators. Die übliche Abkürzung für diesen Operator in der Physik ist U, weil der physikalische Operator unitär ist. Unitarität eines Operators bedeutet, dass seine Adjungation seinem Inversen entspricht. Man kann sich diesen Vorgang sehr gut bei Matrizen illustrieren, die oft eine Darstellung physikalischer Operatoren bewerkstelligen. Anschaulich, aber etwas salopp formuliert, ändert ein unitärer Operator die Physik nicht. Das manifestiert sich darin, dass der zentrale Operator der Physik, der Hamilton-Operator (oder auch kurz Hamiltonian genannt), der mit der Gesamtenergie im betrachteten System zusammenhängt, unter unitären Transformationen unverändert bleibt (siehe Abbildung rechts): die erste Gleichung zeigt auf der linken Seite gerade die mathematische Formulierung der unitären Transformation. Man kann den Symmetrieoperator U erzeugen, wenn man einen weiteren Operator, den GeneratorG oder die Erzeugende genannt, als Exponent (multipliziert mit der imaginären Zahl i) in der e-Funktion notiert. Die Auswertung dieses Ausdrucks geschieht mit Reihendarstellung der e-Funktion unter Ausnutzung der Eigenschaften des Generators. Die Baker-Hausdorff-Formeln, die in zweiter Ordnung Lie-Klammern (der übliche Kommutator der Quantenmechanik) enthalten, erweisen sich hier bei Umformungen als nützlich.

orthogonale Operatoren

Neben den unitären Operatoren gibt es aber auch die orthogonalen. Orthogonalität lässt sich ebenfalls anhand der Matrizen verdeutlichen, weil die Transformationen durch Matrizen bewerkstelligt werden: diese Eigenschaft bedeutet, dass die transponierte Matrix (vertauschen von Zeilen mit Spalten) ihrem Inversen entspricht. Ein Beispiel für die orthogonalen Transformationsgruppen sind die Drehgruppen SO(N), die darüber hinaus speziell sind.

Terminologie der Transformationsgruppen

• U für unitär, sollten aus oben genannten Gründen alle Symmetriegruppen sein, die die Physik beschreiben. Das trifft für die Symmetriegruppen der Quantenfeldtheorien auch zu.
• O für orthogonal,
• S für speziell bedeutet, dass die Determinante des Symmetrieoperators +1 ist und die Spur (Summe der Diagonalelemente) des Generators verschwindet.

Allgemein bezeichnet U(N) eine unitäre Transformationsgruppe N-ter Dimension, während sich hinter SU(N) eine spezielle, unitäre Transformationsgruppe N-ter Dimension verbirgt. Nur für eine spezielle, unitäre Transformationsgruppe existieren N² – 1 reelle, unabhängige Parameter. Physikalisch interpretiert man sie als die bosonischen Austauschteilchen der jeweiligen Quantenfeldtheorie, den Eichbosonen, die die Eichsymmetrie bewerkstelligen.

Beispiel: GUT

In den Grand Unified Theories (GUT) ist die Vereinigung von dreien der fundamentalen Naturkräfte gelungen, indem man den einzelnen Wechselwirkungen unterschiedliche Symmetriegruppen zugeordnet hat. Die übergeordnete Transformationsgruppe ist gerade das direkte Produkt aus diesen Symmetriegruppen.