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Lexikon der Biologie: Lotka-Volterra-Gleichungen

Lotka-Volterra-Gleichungen, von Alfred James Lotka (1925) und Vito Volterra (1926) aufgestellte Gleichungen, die ein Räuber-Beute-System mathematisch beschreiben. Da bei diesem Modell (Volterra-Prinzip) von einem abgeschlossenen System ausgegangen wird (also keine auf Räuber und Beute wirkende Umwelteinflüsse berücksichtigt werden), beschreibt es nur einen stark vereinfachten Grenzfall. Es gründet sich auf 2 einfache Annahmen: 1) Die Geburtenrate des Räubers wird mit zunehmender Beutezahl größer; 2) mit zunehmender Räuberzahl steigt die Sterberate der Beutetiere an. Sind zu wenig Beutetiere vorhanden, können nicht mehr so viele Räuber ernährt werden – ihre Zahl nimmt ab, und die Beutetierpopulation kann sich wieder erholen usw. – Gäbe es in einem bestimmten Gebiet keinen Räuber (z.B. Füchse), so würde die Population der Beutetiere (z.B. Mäuse) in der Zeit t nach folgender Differentialgleichung anwachsen: dN1/dt = r1N1, wobei r1 die Vermehrungsrate der Mäuse und N1 die Ausgangszahl der Mäuse ist. Gäbe es in diesem Gebiet andererseits keine Mäuse und nur Füchse, so würde die Zahl der Füchse (N2) in der Zeit t schließlich auf 0 sinken: dN2/dt = –r2N2. Da aber Füchse und Mäuse zusammenleben, regulieren sie gegenseitig ihren Bestand. Die Vermehrungsrate der Mäuse r1 nimmt mit wachsender Zahl der Füchse ab, und zwar um k1N2, die Vermehrungsrate der Füchse r2 erhöht sich um k2N1 (k1 = Verteidigungskoeffizient des Beutetiers, k2 = Angriffskoeffizient des Räubers). In obige Gleichungen eingesetzt, ergibt sich:
dN1/dt = (r1–k1N2)N1 und dN2/dt =(–r2+k2N1)N2.
Aus den beiden Gleichungen geht hervor, daß im abgeschlossenen Räuber-Beute-System ein Gleichgewichtszustand zwischen den beiden Arten erreicht wird, weil sich beide gegenseitig beschränken. Die Populationsdichten beider Arten schwanken periodisch (phasenverschobene Oszillationen) um einen Mittelwert („Räuber-Beute-Schwingungen"), d.h., die Durchschnittszahlen bleiben konstant. – In der Praxis können diese Überlegungen wichtig sein: Werden nämlich Beute und Räuber gleichmäßig dezimiert (z.B. durch chemische Schädlingsbekämpfung), so wächst möglicherweise nach der Störung die Anzahl der Beutetiere schneller an als jene der Räuber, weil der Räuber, abgesehen von seiner Dezimierung (die ihn unter Umständen schwerer getroffen hat als die Beute, da er eine geringere Dichte aufweist), auch noch zu wenig Nahrung hat. Eine zu geringe Räuberdichte vermag über einen langen Zeitraum die Beute nicht mehr zu kontrollieren. apostatische Selektion, evolutive Wettläufe, Feind-Beute-Beziehung, Fluchtdistanz, frequenzabhängige Selektion, Lemminge, life-dinner principle.

Ch.G.

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