Lexikon der Geographie: Ausbreitungsrechnung
Ausbreitungsrechnung, mathematische Beschreibung der räumlichen und zeitlichen Verteilung von Emissionen in der Atmosphäre. Ziel ist es, Prozesse der Mischung von Emissionen aufgrund turbulenter Bewegung quantitativ zu beschreiben, um die Belastung im räumlichen Umfeld eines potenziellen Emittenten, z.B. im Rahmen eines Genehmigungsverfahrens, prognostizieren zu können. Wichtige, von den atmosphärischen und räumlichen Bedingungen abhängige Parameter sind: die Verlagerungsrichtung, die Verlagerungsgeschwindigkeit und die horizontale und vertikale Divergenz der Schadstoffflussdichten. Das Grundproblem der Ausbreitungsrechnung besteht darin, dass diese Aufgabe nur gelöst werden kann, wenn erhebliche Vereinfachungen der Ausgangsbedingungen vorgenommen werden, welche die universelle Anwendbarkeit der Verfahren einschränken.
Ein relativ einfaches Berechnungsverfahren, bei dem allerdings die Topographie der Umgebung nicht mit einbezogen wird, ist das Gauß-Modell. Es gilt nur für die Überströmung eines ebenen Geländes bei räumlich und zeitlich konstanter Windgeschwindigkeit und zeitlich konstanter Emission. Der Berechnung der Ausbreitung liegt stets die sog. Fick'sche Gleichung zugrunde, welche in allgemeiner Form Diffusion und Transport beschreibt: 
wobei Ki der Diffusionskoeffizient, c die Konzentration und ui die Geschwindigkeitskomponenten in den Richtungen xi sind.
Diese nichtlineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung ist unter Berücksichtigung der örtlichen Randbedingungen wie meteorologischem Feld und Topographie der Umgebung zu lösen. Wird die wahre Atmosphäre auf eine stark vereinfachte Modellatmosphäre reduziert und werden nicht trivial parametrisierbare Randbedingungen, etwa bezüglich der Topographie, konstant gesetzt, dann erfüllt eine bivariate Gaußverteilung die Fick'sche Gleichung. Ausgegangen wird dabei von nicht gravitativ absinkenden Luftbeimengungen aus Punktquellen, die beim Transport keinen chemischen oder physikalischen Veränderungen unterliegen, ferner von einem zeitlich und räumlich konstanten Windfeld. Der Untergrund besteht aus einer homogenen Ebene ohne Hindernissen. Ein kartesisches Koordinatensystem wird so in den Raum gelegt, dass der Nullpunkt der Fußpunkt der Quelle ist und die x-Achse in Richtung des Windes weist. Damit berechnet sich die Konzentration c an einem Aufpunkt P(x,y,z) mit: 
wobei Q die Quellstärke, U eine mittlere Windgeschwindigkeit, H die unter Berücksichtigung der Austrittstemperatur und Austrittsgeschwindigkeit aus dem Kamin resultierende effektive Quellhöhe, z die Höhe des Aufpunktes über Flur und σy und σz die Ausbreitungsparameter in horizontaler und vertikaler Richtung sind. Entscheidend sind dabei die Parameter σy und σz, denn sie bestimmen die horizontale und vertikale Diffusion und damit das räumliche Ausbreitungsfeld. Sie sind eine Funktion der horizontalen Entfernung vom Emissionspunkt, der Quellhöhe sowie der Turbulenz der Atmosphäre, welche den horizontalen und vertikalen Massenaustausch herbeiführt. Die Turbulenz kann relativ zuverlässig mit der Windgeschwindigkeit und der Stabilität der thermischen Schichtung parametrisiert werden. Der Zustand der Atmosphäre wird in der Anwendung dieses Ansatzes in der TA Luft durch Ausbreitungsklassen beschrieben.
Zu beachten ist, dass topographische Eigenschaften, insbesondere die sehr turbulenzrelevante Rauigkeit, nicht in den Ansatz eingehen. Es ist möglich, das Gauß-Modell so zu erweitern, dass es auch für linien- oder flächenhafte Emissionsquellen anwendbar wird. Der Vorteil des Gauß-Modells ist der relativ geringe Rechenaufwand, der es auf überall verfügbaren Rechnern anwendbar macht.
Während beim Gauß-Modell mit sehr engen Annahmen die Konzentration an einem Aufpunkt in Abhängigkeit von einem sehr grob klassierten Zustand der Atmosphäre bestimmt wird, wird bei Trajektorienmodellen der Weg eines Partikels oder Luftpaketes berechnet ( Abb.). Man bezeichnet sie als Lagrange-Modelle, weil die Berechnung auf den Lagrange'schen Bewegungsgleichungen beruht, einem System von Differenzialgleichungen, in denen die Koordinaten sämtlicher Massenpunkte als Funktion der Zeit bestimmt werden. Die Bewegungen können in einem orts- und zeitveränderlichen sog. Lagrange'schen Koordinatensystem beschrieben werden. Lagrange-Modelle basieren auf den Erhaltungssätzen von Masse, Energie und Impuls und berücksichtigen die statistische Turbulenz. Letzteres ist bedeutsam, um die Böigkeit der Luftbewegung, welche den mittleren Zustand überlagert, einzubeziehen. Diese ist eine Folge der Turbulenzbedingungen im Ausbreitungsfeld. Da die Trajektion eines Luftpaketes berechnet wird, also konkrete Bahnen ermittelt werden, sind darauf auch Modelle aufzubauen, bei welchen chemische oder physikalische Prozesse mit berücksichtigt werden, beispielsweise luftchemische Veränderungen in der Abluftfahne. Auch kann die Ausdünnung der Abluftfahne durch Senken in der Atmosphäre, etwa Rain-out oder Wash-out (Deposition), abgebildet werden.
Gegenüber dem Gauß-Modell hat dieser Ansatz den Vorteil, dass die für das Umströmen von Hindernissen erforderlichen Bedingungen gegeben sind, dass instationäre Emissionen zulässig sind und dass den Berechnungen ein dreidimensionales auch zeitlich variables Windfeld zugrunde gelegt werden kann. Lagrange-Modelle werden angesichts der steigenden Rechenkapazitäten und der Komplexität der Planungsaufgaben, z.B. die Wirkungen einer Lärmschutzwand entlang einer Straße auf die Ausbreitung vorauszusehen, zunehmend dort eingesetzt, wo Gauß-Modelle nicht anwendbar sind.
Der Verein Deutscher Ingenieure (VDI) hat für Fälle, in denen das Gauß-Modell nicht ausreicht, eine Reihe von Ausbreitungsmodellen entwickelt und in Richtlinien dokumentiert. Sie sind PC-tauglich und erlauben die schnelle Berechnung für ebenes Gelände und verschiedene Rauigkeitsklassen und haben das Ziel, im Störfall schnelle Prognosen der räumlichen Belastungsfelder zur Verfügung zu stellen.
JVo
Lit: [1] CSANADY, G.T., (1980): Turbulent diffusion in the environment. – Dordrecht u.a. [2] SCHORLING, M., SCHIEGL, W.-E., (1995): TA Luft. – Landsberg und München. [3] VDI-Richtlinie 3782 Bl. 1: Ausbreitung von Luftverunreinigungen in der Atmosphäre; Gaußsches Ausbreitungsmodell für Luftreinhaltepläne.
Ausbreitungsrechnung: Ausbreitungsrechnung: Mit einem Larange-Modell berechnete Trajektorien von drei Emissionsteilchen bei unterschiedlicher thermischer Schichtung der Atmosphäre (H=Höhe, T=Temperatur).
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