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Lexikon der Geowissenschaften: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, Differentialgleichungen, die aus der Forderung nach Differenzierbarkeit einer komplexwertigen Funktion einer komplexen Variablen entstehen. Mit den Real- und Imaginärteilen x, y des komplexen Arguments z = x+iy, i = √-1, und den Real- und Imaginärteilen u(x,y), v(x,y) der komplexwertigen Funktion f(z) = u(x,y)+iv(x,y) lauten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen:



Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen werden häufig in der Theorie der Landesvermessung angewandt, insbesondere im Zusammenhang mit der Transformation zwischen Paaren von Gaußschen Koordinaten. Die isothermen Flächenkoordinaten werden dort als Real- und Imaginärteile einer komplexen Variablen aufgefaßt, so daß jeder Punkt der Ellipsoidfläche durch eine komplexe Zahl beschrieben wird. Jeder Übergang von einem System Gaußscher Flächenkoordinaten (x,y) auf ein zweites System Gaußscher Koordinaten (u,v) kann durch eine komplexwertige analytische Funktion dargestellt werden, welche zwangsläufig die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt. Die komplexe Darstellung mit den Mitteln der Funktionentheorie ist meist übersichtlicher als eine rein reelle Beschreibung der Transformationsbeziehungen. [BH]

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