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Lexikon der Geowissenschaften: hydrodynamische Bewegungsgleichung

hydrodynamische Bewegungsgleichung, Gleichungssystem, das die auf eine Flüssigkeit einwirkenden Kräfte von Punkten außerhalb des betrachteten Systems (äußere Kräfte) und den zwischen den Elementen des Systems wirkenden Kräfte (innere Kräfte) beschreibt. Diese Kräfte werden i.a. in zwei verschiedene Gruppen, die räumlich verteilten (Volumenkräfte) und die flächenhaft verteilten Kräfte (Flächenkräfte) eingeteilt. Beide Arten können sowohl äußere wie innere Kräfte sein. Zum Beispiel ist die Schwerkraft eine äußere, die zwischen den Volumenelementen wirkende Gravitationskraft dagegen eine innere Volumenkraft. Die auf die Oberfläche wirkenden Druckkräfte sind äußere Flächenkräfte (Spannungen). In der Flüssigkeit wird ein Volumenelement dV mit der Masse dM = ρ·dV (ρ = Dichte) betrachtet. Die Volumenkräfte wirken auf alle Massenteile des Volumenelements, d.h. auf alle in ihm befindlichen Moleküle. Sie sind daher dem Massen- oder Volumenelement proportional. Die Flächenkräfte wirken nur auf die Begrenzungsflächen des Volumenelements dV. Sie rühren von den Nachbarelementen her bzw. von denjenigen ihrer Moleküle, die in unmittelbarer Umgebung der Begrenzungsfläche von dV liegen. Diese sog. Flächenkräfte (Schubspannung, Druck) sind dem Flächenelement proportional. Auf ein Wasserteilchen wirkt die äußere Volumenkraft

, die inneren Volumenkräfte ρ·d

/dt (Trägheitskraft) und grad

(Druckkraft), sowie die innere Flächenkraft η·Δ

 (Reibungskraft). Dabei stellt

den Druck, η = ρ·v die Viskosität und v die dynamische Zähigkeit dar. Fügt man diese auf die Volumeneinheit wirkenden Kräfte zusammen, so erhält man die hydrodynamische Grundgleichung, die sog. Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Flüssigkeiten:



Bei Vernachlässigung der Reibungskraft (η/ρ)·Δ

 ≈ 0 erhält man die hydrodynamische Bewegungsgleichung:



Die äußeren Kräfte

werden durch die Schwerkraft ρ·g, die Corioliskraft 2ρ·[

·

] und die Zentrifugalkraft ρ·[

·(

·

)] gebildet, wobei

den Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Drehung der Erde um die Erdachse und

den Erdradius darstellen. Diese Gleichung ist Grundlage für die Eulersche Gleichung, Bernoullische Energiegleichung und die daraus abgeleitete Saint-Venant-Gleichung. [HJL]

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