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Lexikon der Kartographie und Geomatik: Wertmaßstab

Wertmaßstab, Signaturmaßstab, E scale of a symbol, vorwiegend in thematischen Karten, aber auch in anderen graphischen Darstellungen benutztes Mittel zur Veranschaulichung von Zahlenwerten durch ihre Übertragung in die Graphische Variable Größe. Der Wertmaßstab drückt das Verhältnis zwischen dem abzubildenden Wert eines Objekts bzw. Sachverhalts in der Wirklichkeit und der Figurengröße in der Karte aus. Die wichtigsten Erscheinungsformen von Wertmaßstäben sind: Wertangabe (Punktwert) für den Einzelpunkt bei Karten nach der Punktmethode und das mathematisches Basiszahlenverhältnis (mathematische Funktion) für längen-, flächen-, volumenproportionale oder anderweitig abgebildete Mengensignaturen oder Diagrammsignaturen.
Die Festlegung von Wertmaßstäben ist immer ein Optimierungsproblem, in das insbesondere folgende Bedingungen eingehen: 1. Der Mensch vermag Längenverhältnisse recht genau, Flächenverhältnisse hingegen nur tendenziell zu beurteilen. Das Verhältnis verschiedengroßer Flächen wird i. d. R. unterschätzt . Die Schätzung von Volumenverhältnissen kann zu groben Fehlurteilen führen. Demnach wäre die lineare Abbildung gegenüber der flächenhaften zu bevorzugen und auf die pseudo-körperhafte zu verzichten. 2. Dieser allgemeinen Bedingung steht in den meisten Fällen als Bedingung das Verhältnis V des größten zum kleinsten darzustellenden Wert





entgegen. V wird in der Statistik auch als Wertespanne beschrieben und kann die Größenordnung von 104 bis 105 erreichen (z. B. 2 · 104 bei Nmax =2 Mio. und Nmin =100 Einwohnern (Ew.)). 3. Die für die Darstellung nutzbare Kartenfläche ist i. d. R. zu klein, um ein großes Werteverhältnis längen- oder flächenproportional wiedergeben zu können, denn es ist eine bestimmte, noch wahrnehmbare Mindestgröße lmin oder Fmin vorauszusetzen. 4. Die Lagebeziehungen der Objekte im Georaum werden durch die Verortung der Signaturen, Figuren bzw. Diagramme an ihrem Bezugspunkt modelliert. In Dichtegebieten führt dies zur Überlagerung der Kartenzeichen. 5. Unübersichtliche Signaturballungen lassen sich durch Verdrängung, Freistellung und gezielte Überlagerung von großen mit kleinen Kartenzeichen lesbar gestalten. Die Möglichkeiten einer solchen "visuellen Entflechtung" sind jedoch beschränkt, sodass u. U. die einzige Alternative in der Anpassung des Wertmaßstabs besteht. 6. Die Kartenbelastung geht als weiteres allgemeines Kriterium in die Optimierung des Wertmaßstabs ein. 7. Nicht zuletzt sind semantisch-assoziative Aspekte dahingehend zu berücksichtigen, dass beispielsweise längenproportionale Darstellungen möglichst nur für Daten bzw. Sachverhalte genutzt werden, die in der Wirklichkeit des Georaums eindimensional sind, flächenproportionale Darstellungen für Sachverhalte, die in der Realität auch Flächen sind oder flächenhaft angeordnet auftreten usw.
Die Wahl des Wertmaßstabs, genauer die Annäherung an sein Optimum, erfolgt unter Berücksichtigung sämtlicher genannten Aspekte, auch durch ihre Wertung im Hinblick auf den Zweck der Karte. Sie gestaltet sich vergleichsweise unkompliziert bei Werteverhältnissen von V > 102, die längenproportional darstellbar sind. Für das lineare Maß l einer geometrischen Figur mit dem zugehörigen Merkmalswert N gilt:
l = k · N (2), wobei





l0 ist der Einheitswert, d. h. die Länge der Grundeinheit, z. B. 1 mm, No die Maßstabsbasis, der Mengenwert, der dem Einheitswert zugeordnet ist.
Für V < 102 wurden verschiedene Ansätze und Formeln entwickelt. Strenge Flächenproportionalität lässt sich jedoch bei V < 103 nicht mehr erreichen.
Da jedoch der Flächenvergleich ohnehin unsicher ist (vgl. 1. Bedingung), wird die Unterscheidbarkeit der Größen der Kartenzeichen häufig durch Festlegung von Größenklassen (Größenstufen) hergestellt, denen jeweils eine bestimmte Klasse von Merkmalswerten zugeordnet ist. Auch gestufte Wertmaßstäbe lassen sich für V > 102 annähernd flächenproportional gestalten, z. B. als Proportionalität der Größenstufen zum jeweiligen Mittelwert der Klassen. Jedoch ist darauf zu achten, dass die Kartenzeichen benachbarter Größenstufen (Flächen) auch im Kartenzusammenhang eindeutig unterscheidbar sind.
Für die graphische Veranschaulichung von Zahlenwerten in der Karte stehen somit flächenproportionale und nichtflächenproportionale, kontinuierliche und gestufte Wertmaßstäbe zur Verfügung. Die Berechnung von kontinuierlichen Wertmaßstäben beginnt mit der Ermittlung von V nach (1). Lässt der Wert von V darauf schließen, dass eine flächenproportionale Darstellung möglich ist, stehen zwei Verfahren zur Wahl:
a) aufgrund von Erfahrung oder Überschaubarkeit des Problems wird einer gebräuchlichen Flächeneinheit F0 ein runder Einheitswert N0 des darzustellenden Merkmals zugeordnet, z. B. könnte 1 mm2 Signaturfläche 100 Ew. repräsentieren. Daraus ergibt sich die Maßstabskonstante k





Zugleich gelten





und





Durch Auflösen von (4) nach Fmin und (5) nach Fmax zur Berechnung der kleinsten bzw. der größten Signaturfläche lässt sich prüfen, ob k für die betreffende Karte verwendbar oder zu modifizieren ist.
b) Der zweite Ansatz besteht darin, durch Schätzen oder überschlägiges Berechnen die kleinste oder die größte Signaturfläche festzulegen und nach (4) bzw. (5) eine vorläufige Maßstabskonstante k' zu ermitteln. Mit k' lässt sich die jeweils andere Extremfläche bestimmen. Fällt Fmin zu klein bzw. Fmax zu groß aus oder soll eine möglichst einprägsame Maßstabskonstante gefunden werden, wird die Berechnung mit entsprechend korrigierten Werten für die Extremflächen wiederholt und ihre Darstellbarkeit geprüft.
Ist der nach a) oder b) ermittelte Wertmaßstab verwendbar, berechnen sich die Flächen sämtlicher Signaturen nach
F =k · N (6)
Ergibt ein flächenproportionaler Wertmaßstab nach a) oder b) wegen eines V nahe 102,5, wegen absehbarer starker Überlagerung von Signaturen oder zu hoher allgemeiner Kartenbelastung kein befriedigendes Ergebnis, muss zu einem nichtflächenproportionalen Wertmaßstab übergegangen werden.
Für nichtflächenproportionale Wertmaßstäbe stehen mehrere Formeln zur Verfügung, deren Anwendung mit unterschiedlichen Vor- und Nachteilen behaftet ist, die dem Zweck der Karte entsprechende Kompromisse erfordern. Generell gilt, dass man sich mit zunehmendem V (< 103) von der Flächenproportionalität entfernt. Dieser Nachteil kann meist zugunsten der Erfüllung anderer Bedingungen, vor allem von 6., akzeptiert werden.
Sämtliche Formeln für nichtflächenproportionale Wertmaßstäbe setzen die Festlegung von Fmin und Fmax voraus. Verbreitet wird die Formel von G.  Jensch angewendet:
F = k · Nb (7.1)
Dabei ist





und





Wertmaßstäbe sind wichtiger Bestandteil der Legende. Kontinuierliche Wertmaßstäbe können als Kurve veranschaulicht werden, an der sich sämtliche Signaturgrößen der Karte abgreifen oder abmessen lassen. Für gestufte Wertmaßstäbe ist die Ausweisung sämtlicher in der Karte auftretenden Signaturgrößen mit Angabe der Klassengrenzen (vgl. Klassenbildung) zwingend erforderlich.
Neben der Angabe der Basiszahl (Maßstabsbasis) für Mengen ist bei flächen- und volumenproportionaler Darstellung die zusätzliche Veranschaulichung der benutzten graphischen Figuren in ausgewählten Größenstufen eine wesentliche Erleichterung für die richtige Auffassung (Schätzung) der Proportionen der Figuren des Karteninhalts(Abb.).
In Kartenkonstruktionsprogrammen und Geoinformationssystemen sind Funktionen zur Auswahl und Berechnung des Wertmaßstabs implementiert. Steht ein genügend breites Spektrum der oben erläuterten oder vergleichbarer Berechnungsgrundlagen zur Verfügung, wird damit der Auswahl- und Bewertungsprozess bis zur endgültigen Version der Darstellung wesentlich erleichtert und beschleunigt (Tab.).

KGR

Literatur: [1] GROSSER, K. (1987): Theoretische Grundlagen und Algorithmen zur rechnergestützten Gestaltung von Signaturmaßstäben einschließlich entsprechender Legenden. Leipzig, 15-40. [2] TÖPFER, F. (1974): Kartographische Generalisierung. Gotha/Leipzig.


Wertmaßstab (Tab.):Wertmaßstab (Tab.): Vor- und Nachteile der Hauptarten von Wertmaßstäben.

Wertmaßstab:Wertmaßstab: Größenverhältnisse verschiedener Figuren. Die vier Figuren jeder Gruppe verhalten sich wie 1:4:16:25; a) lineare Figur (eindimensional), b) flächenhafte Figuren (zweidimensional), c) räumliche Figuren (dreidimensional).
  • Die Autoren

Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter des Lexikons der Kartographie und Geomatik

Herausgeber und Redaktion (jew. mit Kürzel)

JBN

Prof. Dr. Jürgen Bollmann, Universität Trier, FB VI/Kartographie

WKH

Prof. Dr. Wolf Günther Koch, Technische Universität Dresden, Institut für Kartographie

ALI

Dipl.-Geogr. Annette Lipinski, Köln

Autorinnen und Autoren (jew. mit Kürzel)

CBE

Prof. Dr. Christoph Becker, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Fremdenverkehrsgeographie

WBE

Dipl.-Met. Wolfgang Benesch, Offenbach

ABH

Dr. Achim Bobrich, Universität Hannover, Institut für Kartographie und Geoinformatik

GBR

Dr.-Ing. Gerd Boedecker, Bayrische Akademie der Wissenschaften, Kommission für Erdmessung, München

JBN

Prof. Dr. Jürgen Bollmann, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Abt. Kartographie

WBO

Dr. Wolfgang Bosch, Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut, München

CBR

Dr. Christoph Brandenberger, ETH Zürich, Institut für Kartographie, (CH)

TBR

Dipl.-Geogr. Till Bräuninger, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Abt. Kartographie

KBR

Prof. Dr. Kurt Brunner, Universität der Bundeswehr, Institut für Photogrammetrie und Kartographie, Neubiberg

MBR

Prof. Dr. Manfred F. Buchroithner, TU Dresden, Institut für Kartographie

EBN

Dr.-Ing. Dr. sc. techn. Ernst Buschmann, Potsdam

WBH

Prof. Dr. Wolfgang Busch, TU Clausthal-Zellerfeld

GBK

Dr. Gerd Buziek, München

ECS

Prof. Dr. Elmar Csaplovics, TU Dresden, Institut für Photogrammetrie und Fernerkundung

WDK

Prof. Dr. Wolfgang Denk, FH Karlsruhe, Hochschule für Technik, FB Geoinformationswesen

FDN

Doz. Dr. Frank Dickmann, TU Dresden, Institut für Kartographie

RDH

Prof. Dr. Reinhard Dietrich, TU Dresden, Institut für Planetare Geodäsie

DDH

Dr. Doris Dransch, Berlin

HDS

Prof. Dr. Hermann Drewes, Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut, München

DER

Dr. Dieter Egger, TU München, Institut für Astronomische und Physikalisch Geodäsie

RET

Dr. jur. Dipl.-Ing. Rita Eggert, Karlsruhe

HFY

Dipl.-Geogr. Holger Faby, Europäisches Tourismus Institut GmbH an der Universität Trier

GGR

Univ. Ass. Dr. MA Georg Gartner, TU Wien, Institut für Kartographie und Reproduktionstechnik, (A)

CGR

Prof. Dr. Cornelia Gläßer, Martin-Luther-Universität, Halle/S.-Wittenberg, Institut für Geographie

KGR

Dr. Konrad Großer, Institut für Länderkunde, Leipzig

RHA

Dr. Ralph Hansen, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Physische Geographie

HHT

Dipl.-Met. Horst Hecht, Bundesamt für Seeschifffahrt und Hydrographie, Hamburg

BHK

Prof. Dr.-Ing. Bernhard Heck, Universität Karlsruhe, Geodätisches Institut

FHN

Dr. Frank Heidmann, Fraunhofer Institut für Arbeitswirtschaft und Organisation, Stuttgart

RHN

Prof. Dr. Reinhard Hoffmann, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Didaktik der Geographie

KIK

Prof. Dr. Karl-Heinz Ilk, Universität Bonn, Institut für Theoretische Geodäsie

WKR

Dipl.-Geol. Wolfgang Kaseebeer, Universität Karlsruhe, Lehrstuhl für Angewandte Geologie

KKN

Prof. Dr. Ing. Karl-Hans Klein, Bergische Universität Wuppertal, FB 11, Vermessungskunde/ Ingenieurvermessung

AKL

Dipl.-Geogr. Alexander Klippel, Universität Hamburg, FB Informatik

CKL

Dr. Christof Kneisel, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Physische Geographie

WKH

Prof. Dr. Wolf Günther Koch, Technische Universität Dresden, Institut für Kartographie

IKR

Prof. Dr. Ingrid Kretschmer, Universität Wien, Institut für Geographie und Regionalforschung, (A)

JKI

Dr. Jan Krupski, Universität Wroclaw (Breslau), Institut für Geographie, (PL)

CLT

Dipl.-Geogr. Christian Lambrecht, Institut für Länderkunde, Leipzig

ALI

Dipl.-Geogr. Annette Lipinski, Köln

KLL

Dr. Karl-Heinz Löbel, TU Bergakademie Freiberg

OMF

Dr. Otti Margraf, Beucha

SMR

Prof. Dr. Siegfried Meier, TU Dresden, Institut für Planetare Geodäsie

SMI

Dipl.-Geogr. Stefan Neier-Zielinski, Basel (CH)

GML

Dr. Gotthard Meinel, Institut für Ökologische Raumentwicklung, Dresden

RMS

Roland Meis, Puls

BMR

Prof. Dr. Bernd Meißner, Technische Fachhochschule Berlin, FB 7

MMY

Doz. Dr. Dipl.-Ing. Miroslav Miksovsky, TU Prag, Fakultät Bauwesen, (CZ)

AMR

Dr. Andreas Müller, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Abt.Kartographie

JMR

Dr.-Ing. Jürgen Müller, TU München, Institut für Astronomische und Physikalische Geodäsie

MND

Dr. Maik Netzband, Universität Leipzig, Institut für Geographie

JNN

Prof. Dr. Joachim Neumann, Wachtberg

ANL

Dr. Axel Nothnagel, Universität Bonn, Geodätisches Institut

FOG

Prof. Dr. Ferjan Ormeling, Universität Utrecht, Institut für Geographie, (NL)

NPL

Dr. Nikolas Prechtel, TU Dresden, Institut für Kartographie

WER

Dr. Wolf-Dieter Rase, Bundesamt für Städtebau und Raumplanung, Abt. I, Bonn

KRR

Prof. Dr. em. Karl Regensburger, TU Dresden, Institut für Photogrammetrie und Fernerkundung

WRT

Prof. Dr. Wolfgang Reinhardt, Universität der Bundeswehr, Institut für Geoinformation und Landentwicklung, Neubiberg

HRR

Heinz W. Reuter, DFS Deutsche Flugsicherung GmbH, Offenbach

SRI

Dipl.-Geogr. Simon Rolli, Basel (CH)

CRE

Dipl.-Ing. Christine Rülke, TU Dresden, Institut für Kartographie

DSB

PD Dr. Daniel Schaub, Aarau (CH)

MST

Dr. Mirko Scheinert, TU Dresden, Institut für Planetare Geodäsie

WSR

Dr.-Ing. Wolfgang Schlüter, Wetzell

RST

Dr. Reinhard-Günter Schmidt, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Physische Geographie

JSR

PD Dr. Ing. Johannes Schoppmeyer, Universität Bonn, Institut für Kartographie und Geoinformation

HSN

Prof. Dr. Heidrun Schumann, Universität Rostock, Institut für Computergraphik, FB Informatik

BST

PD Dr. Brigitta Schütt, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Physische Geographie

HSH

Prof. Dr.-Ing. Harald Schuh, TU Wien, Institut für Geodäsie und Geophysik, (A)

GSR

Prof. Dr. Günter Seeber, Universität Hannover, Institut für Erdmessung

KSA

Prof. Dr. Kira B. Shingareva, Moskauer Staatliche Universität für Geodäsie und Kartographie, (RU)

JSS

Dr. Jörn Sievers, Bundesamt für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt

MSL

Prof. Dr. Michael H. Soffel, TU Dresden, Lohrmann-Observatorium

ESS

Prof. Dr. em. h.c. Ernst Spiess, Forch (CH)

WSS

Doz. i.R. Dr. Werner Stams, Radebeul

MSR

Dipl.-Geogr. Monika Stauber, Berlin

KST

Prof. Dr. em. Klaus-Günter Steinert, TU Dresden, Lohrmann-Observatorium

PTZ

Dr. Peter Tainz, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Abt. Kartographie

ETL

Dr. Elisabeth Tressel, Universität Trier, FB VI/Physische Geographie

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Dr. Anne-Dore Uthe, Institut für Stadtentwicklung und Wohnen des Landes Brandenburg, Frankfurt/Oder

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Dr.-Ing. Georg Vickus, Hildesheim

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Dipl.-Geogr. Wilfried Weber, Universität Trier, FB Geographie/Geowissenschaften – Abt. Kartographie

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Prof. Dr. Ingeborg Wilfert, TU Dresden, Institut für Kartographie

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Dr. Hagen Will, Gießen

DWF

Dipl.-Ing. Detlef Wolff, Leverkusen

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