eines der 23 Hilbertschen Probleme, die David Hilbert auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß 1900 in Paris stellte.

Im 14. Problem fragte er, wann für gegebene g₁, …, g_k ∈ K[x₁, …, x_n] aus dem Polynomenring in den Variablen x₁, …, x_n über dem Körper K der Ring der rationalen Funktionen in g₁, …, g_n, geschnitten mit dem Polynomenrings

\begin{eqnarray}K({g}_{1},\ldots, {g}_{k})\cap K[{x}_{1},\ldots, {x}_{n}],\end{eqnarray}

Dabei ging es Hilbert eigentlich um die Beantwortung folgender Frage: Sei G eine Untergruppe von Gl_n(K), die über die lineare Operation von Gl_n(K) auf K[x₁, …, x_n] operiert. Ist der Ring der G–invarianten Elemente von K[x₁, …, x_n] endlich erzeugt?

Nach der Lösung einiger Spezialfälle hat M. Nagata 1959 ein Gegenbeispiel vorgestellt. Die endgültige Lösung gab V.L. Popow 1979: Die Gruppe G ist reduktiv genau dann, wenn für jede rationale Operation von G auf einer endlich erzeugten K-Algebra der Ring der Invarianten endlich erzeugt ist.

1994 haben Deveney und Finston ein einfaches Gegenbeispiel gegeben: Die additive Gruppe G_a operiert auf K[x₁, …, x₇] durch

\begin{eqnarray}(t,{x}_{1},\ldots, {x}_{7})\mapsto ({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}+t{x}_{1}^{3},{x}_{5}+t{x}_{2}^{3},{x}_{6}+t{x}_{3}^{3},{x}_{7}+t{({x}_{1}{x}_{2}{x}_{3})}^{2}).\end{eqnarray}