ein Signifikanztest zur Prüfung der Hypothese \begin{eqnarray}H:F={F}_{0}\end{eqnarray} gegen die Alternative \begin{eqnarray}K:F\ne {F}_{0},\end{eqnarray} wobei F die unbekannte Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X und F₀ eine vorgegebene bekannte Verteilungsfunktion sind.

Zum Testen der Hypothese H wird eine Stichprobe vom Umfang n durchgeführt und im Fall, daß X stetig ist, eine geeignete Klasseneinteilung K₁,…, K_k mit K_j = [x_j, x_j+1) gewählt. Die verwendete Testgröße ist \begin{eqnarray}T=\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\frac{{({H}_{j}-n{p}_{j})}^{2}}{n{p}_{j}},\end{eqnarray} wobei H_j die beobachtete absolute Klassenhäufigkeit der j-ten Klasse und np_j mit \begin{eqnarray}{p}_{j}={F}_{0}({x}_{j+1})-{F}_{0}({x}_{j})\end{eqnarray} die unter der Annahme der Gültigkeit von H erwartete absolute Klassenhäufigkeit der j-ten Klasse sind.

Ist X diskret mit dem Wertebereich A = {a₁,…,a_k}, so sind H_j die Häufigkeit des Auftretens von a_j in der Stichprobe und p_j die Wahrscheinlichkeit für a_j unter der Annahme der Gültigkeit von H.

Die Testgröße T besitzt bei Gültigkeit von H asymptotisch für n → ∞ eine χ²-Verteilung mit k − 1 Freiheitsgraden.

Der kritische Wert ϵ, mit dem T verglichen wird, ist das (1 − α)-Quantil \begin{eqnarray}\varepsilon ={\chi }_{k-1}^{2}(1-\alpha )\end{eqnarray} der χ²-Verteilung mit k − 1 Freiheitsgraden.

Ist T >ϵ, so wird H abgelehnt, andernfalls angenommen. Der Fehler erster Art dieses Tests ist asymptotisch für n → ∞ gleich α.

Sind in der vorgegebenen Verteilungsfunktion F₀ noch m unbekannte Parameter enthalten, so werden diese zunächst nach der Maximum-Likelihood- Methode geschätzt. T besitzt dann asymptotisch eine χ²-Verteilung mit k − 1 − m Freiheitsgraden, weshalb der kritische Wert ϵ in diesem Fall durch das (1 − α)-Quantil \begin{eqnarray}\varepsilon ={\chi }_{k-1-m}^{2}(1-\alpha )\end{eqnarray} der χ²-Verteilung mit k − 1 − m Freiheitsgraden ersetzt wird.

Um eine gute Approximation der Verteilung von T durch die χ²-Verteilung zu erreichen, wird empfohlen, die Klassen mit np_j < 5 zusammenzufassen, so daß schließlich für alle Klassen np_j ≤ 5 gilt.

Ein bekanntes Beispiel ist der χ²-Anpassungstest für Normalverteilungen.