Lexikon der Mathematik: Abbildung zwischen Flächen
gesondert zu betrachtende Art von Abbildungen. Unter den Flächenabbildungen sind von besonderem Interesse
- isometrische Abbildungen oder Abwicklungen,
- Ähnlichkeitsabbildungen,
- winkeltreue oder konforme Abbildungen,
- affine Abbildungen,
- flächentreue oder inhaltstreue Abbildungen.
Zur analytischen Beschreibung einer Abbildung \(f: {\mathcal F} \to \bar{ {\mathcal F} }\) dienen Parameterdarstellungen \(\bar{\Phi }\)(u1, u2) und Φ(u1, u2), die auf dem gleichen Parameterbereich U ⊂ ℝ2 definiert sind. In diesen Parametern wird f als differenzierbare Abbildung von U in sich durch ein Paar \({\bar{u}}_{1}={\bar{u}}_{1}({u}_{1},{u}_{2}),{\bar{u}}_{2}={\bar{u}}_{2}({u}_{1},{u}_{2})\) differenzierbarer Funktionen beschrieben. Wählt man statt der Bezeichnung E, F, G (bzw. \(\bar{E},\bar{F},\bar{G}\)) für die Koeffizienten die Indexschreibweise g11 = E, g12 = g21 = F, g22 = G (bzw. \({\bar{g}}_{11}=\bar{E},{\bar{g}}_{12}={\bar{g}}_{21}=\bar{F},{\bar{g}}_{22}=\bar{G}\)), so transformiert sich die erste Gaußsche Fundamentalform \(\bar{ {\mathcal F} }\) nach der Formel
wobei \({\bar{g}}_{\bar{r},\bar{s}}\) die Koeffizienten der bezüglich der Koordinaten \(({\bar{u}}_{1},{\bar{u}}_{2})\) gebildeten ersten Fundamentalform sind.
Die folgende Tabelle enthält die Charakterisierungen der verschiedenen Abbildungstypen anhand der Koeffizienten \({\bar{g}}_{ij}\) und gij. Eine Abbildung ist
• isometrisch, wenn \({\bar{g}}_{ij}={g}_{ij}\) gilt,
• eine Ähnlichkeitsabbildung, wenn \({\bar{g}}_{ij}={c}^{2}{g}_{ij}\) gilt mit einer Konstanten c,
• winkeltreu, wenn \({\bar{g}}_{ij}={c}^{2}{g}_{ij}\) gilt, wobei c jetzt vom Punkt abhängen darf,
• affin, wenn die Christoffelsymbole gleich sind: \({\bar{\Gamma }}_{ij}^{k}={\Gamma }_{ij}^{k}\),
• geodätisch, wenn geodätische Linien in geodätische Linien überführt werden,
• inhaltstreu, wenn det \(({\bar{g}}_{ij})=\det ({g}_{ij})\) gilt und
• im wesentlichen inhaltstreu, wenn det \(({\bar{g}}_{ij})={c}^{2}\det ({g}_{ij})\) gilt mit einer Konstanten c.
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