Lexikon der Mathematik: abgeleiteter Funktor
derivierter Funktor, aus einem additiven Funktor hergeleiteter Funktor, dessen exakte Definition wie folgt gegeben ist.
Seien 𝒜 und ℬ abelsche Kategorien und sei F : 𝒜 → ℬ ein additiver kovarianter Funktor. Besitzt die Kategorie 𝒜 genug projektive Objekte, d. h. jedes Objekt A aus 𝒜 besitzt eine projektive Auflösung, dann besitzt F linksabgeleitete Funktoren
Die Linksableitungen werden wie folgt konstruiert. Sei
Die Funktorabbildung des n-ten linksabgeleiteten Funktors LnF für die Objekte ist gegeben durch die n-te Homologiegruppe dieses Komplexes:
Die Funktorabbildung für die Morphismen ist wie folgt definiert. Ist α : A → A′ ein Morphismus in 𝒜, so definiert dieser zuerst Morphismen PA → PA′ und weiter kanonische Abbildungen auf den Homologiegruppen
Die Kategorie \({\mathscr{A}}\) besitze genügend injektive Okjekte, d. h. jedes Objekt besitze eine injektive Auflösung. Dann sind die rechtsabgeleiteten Funktoren RnF des additiven kovarianten Funktors \(F:{\mathscr{A}}\to {\mathcal B} \) definiert.
Ausgehend von einer injektiven Auflösung
Die n-te Funktorabbildung RnF auf den Objekten ist die n-te Kohomologiegruppe
Die Funktorabbildung RnF(α) für die Morphismen werden entsprechend definiert.
Für kontravariante Funktoren vertauschen die projektiven und injektiven Auflösungen ihre Rollen, da bei der Anwendung des Funktors sich die Pfeile umdrehen. Ansonsten bleiben die Definitionen gleich.
Die lange exakte Sequenz abgeleiteter Funktoren gibt eine Beziehung zwischen den Ableitungen n-ter und (n + 1)-ter Ordnung.
Beispiele abgeleiteter Funktoren:
(a) Sei ModR die Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring R. Diese Kategorie ist abelsch und hat genügend injektive und projektive Objekte. Das Tensorprodukt mit dem Modul B
Die Linksableitungen dieses Funktors liefern die Torsionsmodule
(с) Sei X ein topologischer Raum und \({\mathscr{A}} {\mathcal B} \) die Kategorie der Garben abelscher Gruppen über X. Der globale Schnittfunktor Γ(&KHgr;,.) ist definiert durch die Zuordnung
Seine rechtsabgeleiteten Funktoren sind die Kohomologiefunktoren. Sie liefern die Kohomologiegruppen \({H}^{n}(X,{\mathscr{G}})\) der Garbe \({\mathscr{G}}\).
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