ein uneigentliches Riemann-Integral \(\displaystyle {\int }_{a}^{b}f(x)dx\), wobei auch a = –∞ und b = ∞ zulässig sind, für das gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\quad\text{konvergiert}.\end{eqnarray}

Jedes absolut konvergente Riemann-Integral konvergiert auch im gewöhnlichen Sinn. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie das Beispiel \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin x}{x}dx\end{eqnarray} zeigt.

Für Funktionen mit Werten in einem Banachraum E gilt folgende Definition: Sei Ω ⊂ ℝ^N eine meßbare Menge. Eine Funktion f : Ω → E heißt absolut integrierbar, falls x ↦ ||f(x)|| meßbar ist und \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }||f(x)||dx\end{eqnarray} existiert.