Begriff für die topologische Gleichwertigkeit zweier Metriken auf der gleichen Grundmenge.

Ist X eine Menge und sind d₁ und d₂ Metriken auf der Menge X, so heißt d₁ stärker als d₂, falls jede Folge (x_n), die in X bezüglich d₁ gegen ein x ∈ X konvergiert, auch bezüglich d₂ gegen x konvergiert. In diesem Fall heißt d₂ schwächer als d₁.

Falls d₁ sowohl schwächer als auch stärker als d₂ ist, nennt man die Metriken äquivalent.

In diesem Fall haben also beide Metriken die gleichen konvergenten Folgen. Dies ist gleichbedeutend damit, daß für jedes x ∈ X jede bezüglich d₂ offene Kugel um x eine bezüglich d₁ offene Kugel um x enthält und umgekehrt.

Da es zu jeder Metrik d₁ eine äquivalente Metrik \begin{eqnarray}{d}_{2}(x,y)=\frac{{d}_{1}(x,y)}{1+{d}_{1}(x,y)}\end{eqnarray}

gibt, für die gilt \begin{eqnarray}{d}_{2}(x,y)\le 1,\end{eqnarray}

kann man die Äquivalenz von Metriken nicht mit Hilfe einer Abschätzung zwischen d₁ und d₂ beschreiben.

Beispiel: Ist X = ℝⁿ, so sind die drei Metriken \begin{eqnarray}{d}_{1}(x,y) & = & \sqrt{{({x}_{1}-{y}_{1})}^{2}+\cdots +{({x}_{n}-{y}_{n})}^{2},}\\ {d}_{2}(x,y) & = & \max \{|{x}_{1}-{y}_{1}|,\ldots, |{x}_{n}-{y}_{n}|\},\text{und}\\ {d}_{3}(x,y) & = & \displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{x}_{i}-{y}_{i}|\end{eqnarray}

äquivalent.