RelationR ⊆ M × M, die den folgenden drei Bedingungen genügt (wie üblich wird im folgenden für zwei in Relation stehende Elemente x, y die Bezeichnung x ∼ y anstatt (x, y) ∈ R verwendet):

1. Reflexivität: \begin{eqnarray}\mathop{\wedge }\limits_{x\in M}(x\sim x),\end{eqnarray}

d. h., jedes Element steht zu sich selbst in Relation,

2. Symmetrie: \begin{eqnarray}\mathop{\wedge }\limits_{x,y\in M}(x\sim y\Rightarrow y\sim x),\end{eqnarray}

d. h., steht x mit y in Relation, so auch y mit x,

3. Transitivität: \begin{eqnarray}\mathop{\wedge }\limits_{x,y,z\in M}(x\sim y\wedge y\sim z\Rightarrow x\sim z),\end{eqnarray}

d. h., stehen sowohl x und y als auch y und 𝓏 in Relation, so auch x und 𝓏.

Jeder Äquivalenzrelation R ⊆ M × M auf der Menge M entspricht bijektiv eine disjunkte Zerlegung (Klasseneinteilung) der Menge M, d. h., M ist die disjunkte Vereinigung von Mengen M_i: \begin{eqnarray}M={\dot{\cup }}_{i\in I}{M}_{i},\end{eqnarray}

wobei I eine geeignete Indexmenge ist.

Dazu definiert man für jedes x ∈ M die Äquivalenzklasse oder Faser über x, [x], als die Menge aller zu x in Relation stehenden Elemente von M, \begin{eqnarray}[x]:\{y\in M:x\sim y\}.\end{eqnarray}

Die Reflexivität von R garantiert, daß keine Äquivalenzklasse leer ist, sofern M nicht leer ist (die leere Relation ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn M die leere Menge ist). Die Symmetrie und die Transitivität von R implizieren, daß für x, y ∈ M die Äquivalenzklassen [x] und [y] entweder disjunkt oder identisch sind.

Die Menge der Äquivalenzklassen heißt Quotienten-, Faktor- oder Fasermenge und wird mit M/R (sprich: M nach R) bezeichnet. Es gilt \begin{eqnarray}M={\dot{\cup }}_{K\in M/R}K,\end{eqnarray}

d. h., M/R liefert die gesuchte Klasseneinteilung von M. Ein Element y der Äquivalenzklasse [x] heißt Repräsentant von [x]. Enthält eine Menge V aus jeder Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten, so wird sie (vollständiges) Repräsentantensystem der Quotientenmenge M/R genannt. Die surjektive Abbildung \begin{eqnarray}k:M\to M/R, & x\mapsto [x]\end{eqnarray}

heißt kanonische oder natürliche Abbildung.

Ist umgekehrt eine disjunkte Zerlegung \begin{eqnarray}M={\dot{\cup }}_{i\in I}{M}_{i}\end{eqnarray} der Menge M gegeben, so wird durch \begin{eqnarray}R:=\{(x,y)\in M\times M:\mathop{\vee }\limits_{i\in I}\{x,y\}\subseteq {M}_{i}\}\end{eqnarray}

eine Äquivalenzrelation R definiert, so daß die Äquivalenzklassen mit den Mengen M_i übereinstimmen.

Beispiele:

1. Die auf den ganzen Zahlen ℤ definierte Relation \begin{eqnarray}x\sim y & :\iff & x-y\text{gerade}\end{eqnarray}

ist eine Äquivalenzrelation, die genau zwei Äquivalenzklassen besitzt, nämlich die Menge der geraden Zahlen und die Menge der ungeraden Zahlen.

2. Auf der Potenzmenge der natürlichen Zahlen 𝒫(ℕ₀) läßt sich die durch \begin{eqnarray}X\sim Y & :\iff & \#X=\#Y\end{eqnarray}

definierte Äquivalenzrelation betrachten, nach der gleichmächtige Mengen als äquivalent betrachtet werden.

Benutzt man die von Neumannsche Definition der natürlichen Zahlen (0 := ∅, 1 :={0}, 2 :={0, 1} usw.), so ist die Menge V := ℕ₀ ∪ {ℕ₀} ein vollständiges Repräsentantensystem.

Bezeichnet man mit M_n :={X ⊆ ℕ₀ : #X = n} die Menge der n-elementigen Teilmengen von ℕ₀, n ∈ V, so läßt sich die Quotientenmenge P(ℕ₀)/∼ schreiben als {M_n : n ∈ V}. Die kanonische Abbildung ist gegeben durch \begin{eqnarray}k:P({\Bbb{N}}_{0})\to P({\Bbb{N}}_{0})/\sim, & X\mapsto {M}_{\#X.}\end{eqnarray}

(Kardinalzahlen und Ordinalzahlen).

3. Führt man auf der Menge ℤ × (ℤ \{ 0}) durch \begin{eqnarray}(a,b)\sim (c,d) & :\iff & ad=bc\end{eqnarray}

die Relation „∼“ ein, so läßt sich leicht nachprüfen, daß es sich erneut um eine Äquivalenzrelation handelt. Die Quotientenmenge ist die Menge der rationalen Zahlen ℚ. Die Menge \begin{eqnarray}\{\frac{a}{b}:a\in \Bbb{Z},b\in \Bbb{N},a\,\text{und}\,b\text{teilerfremd}\}\end{eqnarray}

stellt ein vollständiges Repräsentantensystem dar. \begin{eqnarray}k:{\Bbb{Z}}\times {\Bbb{Z}}\backslash \{0\})\to {\Bbb{{Q}}}, \,\,\,& (a,b)\mapsto \frac{a}{b}\end{eqnarray}

ist die kanonische Abbildung.