in der Flächentheorie eine Abbildung f : ℱ₁ → ℱ₂ zweier regulärer Flächen ℱ₁, ℱ₂ ⊂ ℝ³, die die Christoffelsymbole erhält.

Gleichwertig dazu ist die Verträglichkeit von f mit der absoluten Ableitung. Das bedeutet folgendes: Ist α(t) eine parametrisierte Kurve auf ℱ₁, 𝔞(t) ein Vektorfeld längs α(t), α₁(t) = f(α(t)) die Bildkurve von α auf ℱ₂ und 𝔞₁(t) = f_∗(a(t)) das Bild des Vektorfeldes a bei der linearen tangierenden Abbildung f_∗ (Differentialgeometrie), so gilt \begin{eqnarray}{f}_{* }(\frac{D\text{a}(t)}{d\,t})=\frac{D{f}_{* }(\text{a}(t))}{d\,t}.\end{eqnarray}

Der Name ,affin‘ rührt daher, daß eine solche Abbildung nicht nur die geodätischen Linien von ℱ₁ in geodätische Linien von ℱ₂ überführt, sondern auch den affinen Parameter erhält, eine Eigenschaft, die sie mit den affinen Abbildungen der Theorie der affinen Räume teilt. Damit ist jede affine Abbildung auch eine geodätische Abbildung.

Der Name „affine Abbildung“ wird auch für differenzierbare Abbildungen von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten gebraucht, die mit affinen Zusammenhängen verträglich sind.