die Behandlung zahlentheoretischer Fragen mit algebraischen Methoden, Ausweitung der Fragestellungen auf ganze algebraische Zahlen.

Es gibt keine natürlichen Zahlen x, y, 𝓏, die der Gleichung \begin{eqnarray}{x}^{3}+{y}^{3}={z}^{3} & (1)\end{eqnarray}

genügen. Euler versuchte lange, diesen Satz unter Heranziehung von Zahlen der Form \begin{eqnarray}p+q\sqrt{-3}\end{eqnarray}

zu beweisen; sein Beweis enthielt eine Lücke, die sich zwar schließen ließ, aber der Beweis blieb kompliziert. Später gelang es Gauß, einen eleganten, auf der Deszendenzmethode beruhenden Beweis zu geben, der die dritte Einheitswurzel \begin{eqnarray}\zeta =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\sqrt{3}\end{eqnarray}

und daraus konstruierte Zahlen benutzt. Dies zeigt sowohl die Schwierigkeit, algebraische Methoden wie etwa ganzalgebraische Zahlen auf zahlentheoretische Probleme anzuwenden, als auch den Gewinn, den man davon haben kann.

Die Gleichung (1) ist der Fall n = 3 der Fermatschen Behauptung, für n > 2 könne niemals die Summe zweier n-ter Potenzen wieder eine n-te Potenz sein. In heutiger Formelsprache: Fermat behauptete, die Gleichung \begin{eqnarray}{X}^{n}+{Y}^{n}={Z}^{n} & (2)\end{eqnarray}

habe keine aus natürlichen Zahlen X, Y, Z bestehende Lösung. Fermat schrieb weiter, er habe „demonstrationem mirabilem“ (dt.: einen wunderbaren Beweis) gefunden, aber der Rand reiche nicht aus, ihn aufzuschreiben. Mit dem „Rand“ ist der Buchrand von Bachets Ausgabe der „Arithmetika“ von Diophant gemeint; Fermat hatte eine solche Ausgabe gründlich studiert und mit zahlreichen Randbemerkungen versehen.

Obwohl die Fermatsche Behauptung keineswegs eine der wichtigen Motivationen zur Entwicklung und Ausgestaltung der algebraischen Zahlentheorie war, geriet sie doch im Laufe der Zeit zu einem „Testproblem“, an dem man neue Methoden ausprobieren konnte. Heute kann man die Geschichte der mathematischen Arbeiten zu Fermats Gleichung (2) gut als Leitfaden einer Einführung in die algebraische Zahlentheorie nehmen [1]; die Fermatsche Behauptung wurde vor wenigen Jahren erst von Wiles bewiesen, wobei er Methoden aus verschiedenen mathematischen Teilgebieten benutzte.

Eine wichtige Rolle für die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie spielt das quadratische Reziprozitätsgesetz, das auf Euler zurückgeht. Die eleganteste (elementare) Formulierung dieses Gesetzes stammt von Legendre; Gauß gab mehrere Beweise. Jacobi begann damit, höhere quadratische Reziprozitätsgesetze zu formulieren und zu beweisen. Für Kummer war das die wichtigste Motivation, seine „idealen komplexen Zahlen“ einzuführen und die Faktorisierung von Primzahlen mit Hilfe von Einheitswurzeln zu studieren. Die Kummerschen Ideen führen zu einem Beweis der Fermatschen Behauptung in den Fällen, wo n eine reguläre Primzahl ist. Dedekind verallgemeinerte Kummers Resultate und prägte den heutigen Begriff „Ideal“; in seiner Idealtheorie geht es hauptsächlich um die Ideale in den Ganzheitsringen algebraischer Zahlkörper.

Über letztere schrieb Hilbert einmal: „Die Theorie der Zahlkörper ist wie ein Bauwerk von wunderbarer Schönheit und Harmonie.“

Die Suche nach dem, was hinter dem quadratischen Reziprozitätsgesetz steckt, zieht sich bis hin zur Klassenkörpertheorie [2].

Im 20. Jahrhundert wurde die algebraische Zahlentheorie außerdem mit zunehmendem Erfolg mit der algebraischen Geometrie in Verbindung gebracht, woraus sich die sog. arithmetische algebraische Geometrie entwickelte.

[1] Edwards, H. M.: Fermat’s Last Theorem. Springer Berlin, 1977.
[2] Neukirch, J.: Algebraische Zahlentheorie. Springer Berlin, 1992.
[3] Singh, S.: Fermats letzter Satz. Hanser München/Wien, 1998.