ein über einem Grundkörper 𝕂 endlich erzeugter Erweiterungskörper 𝕃.

Im folgenden sei 𝕂 algebraisch abgeschlossen. Wenn 𝕂 = ℂ und wenn man eine Transzendenz-basis 𝓏₁, ··· , 𝓏_n, auszeichnet, so kann man jedes Element von 𝕃 als analytische Funktion auf einem geeigneten Gebiet in ℂⁿ ansehen, oder als „mehrwertige Funktion“. Man kann die Elemente von 𝕃 aber auch mit rationalen Funktionen auf einer projektiven algebraischen Varietät V interpretieren, (eine solche Varietät V mit 𝔐_V (V) ≅ 𝕃 heißt ein Modell von 𝕃,) die man wie folgt erhält: Man wähle Elemente 𝓏₁, ··· , 𝓏_N, die 𝕃 erzeugen, eine Unbestimmte t über 𝕃, und definiere \begin{eqnarray}I=\{f\in {\mathbb{K}}[{X}_{0},\cdots ,{X}_{N}];f(t,t{{\mathscr{z}}}_{1},\cdots ,t{{\mathscr{z}}}_{N})=0\}.\end{eqnarray}

Dies ist ein homogenes Primideal, die zugehörige Varietät in ℙ^N(𝕂) ist dann eine Varietät mit 𝔐_V (V) ≃ 𝕃. Die Dimension von V ist der Transzendenzgrad von 𝕃 über 𝕂, diese Zahl heißt auch Dimension des Funktionenkörpers. Eine besondere Rolle bei der Entwicklung der algebraischen Geometrie haben ein- und zweidimensionale Funktionenkörper gespielt, weil es in diesem Fall ausgezeichnete glatte sog. minimale Modelle gibt.

Im eindimensionalen Fall gibt es ein ausgezeichnetes Modell V, welches zugleich minimal und maximal ist, d. h. wenn V^′ eine komplette Varietät und σ : 𝔐_V′ (V^′) \begin{eqnarray}\mathop{\to }\limits^{\sim }\end{eqnarray} 𝕃 ein Isomorphismus ist, so wird σ durch einen Morphismus V → V^′ induziert, und wenn V^′ eine glatte Varietät ist mit 𝔐_V′ (V^′) ≃ 𝕃, so wird der Isomorphismus durch eine offene Einbettung V^′ ↪ V induziert. Man nennt V das glatte Modell von 𝕃. Man erhält V aus einem beliebigen Modell durch Auflösung von Singularitäten. Im Falle 𝕂 = ℂ ist die V zugrundeliegende komplexe Mannigfaltigkeit V_h eine kompakte Riemannsche Fläche.

Im zweidimensionalen Fall gibt es außer im Falle 𝕃 = K₀(t), K₀ ein eindimensionaler Funktionenkörper, eindeutig bestimmte minimale Modelle. Im Falle 𝕃 = K₀(t) gibt es relative minimale Modelle.