Lexikon der Mathematik: algebraischer Zahlkörper
eine Körpererweite-rung K/ℚ über dem Körper ℚ der rationalen Zahlen mit der Eigenschaft, daß K als Vektorraum über ℚ endlich-dimensional ist.
Die Dimension von K als ℚ-Vektorraum heißt auch Grad des algebraischen Zahlkörpers K, geschrieben [K : ℚ].
Sind x1,... , xn reelle Zahlen, so schreibt man
für denjenigen Körper, der aus ℚ durch Adjunktion dieser Zahlen entsteht.
Sind alle Zahlen x1,... , xnalgebraische Zahlen, so wird K ein algebraischer Zahlkörper, und umgekehrt entsteht jeder algebraische Zahlkörper auf diese Weise. Man kann zeigen, daß jeder algebraische Zahlkörper ein primitives Element x enthält, d. h., K entsteht aus ℚ durch Adjunktion einer einzigen algebraischen Zahl x.
Ist K = ℚ(x), so ist der Grad der Körpererweiterung
gleich dem Grad der algebraischen Zahl x, und damit gleich dem Grad des Minimalpolynoms von x. Ist x ∈ ℂ eine transzendente Zahl, so erhält man durch Adjunktion an ℚ keinen algebraischen Zahlkörper, denn in diesem Fall gilt
Beispielsweise ist der Körper ℝ der reellen Zahlen kein algebraischer Zahlkörper, da er neben den algebraischen Zahlen auch transzendente Zahlen enthält.
Auch der Körper
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