Lexikon der Mathematik: allgemeine Riccati-Differentialgleichung
gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung der Form
Durch verschiedene Substitutionen ist es möglich, das lineare Glied zu eliminieren und die DGL somit eventuell zu vereinfachen. Sind speziell f(x) = −a, g(x) = 0 und h(x) = bxα mit Konstanten a, b, α, so handelt es sich um die spezielle Riccati-Differentialgleichung
Die Differentialgleichung
ist die sog. Rawsonsche Form der Riccati-Differentialgleichung, ihre Lösungen lassen sich eindeutig in die Lösungen einer speziellen Riccati-Differentialgleichung überführen und umgekehrt. Für den Fall h(x) = 0 ist (1) eine Bernoulli-Differentialgleichung und läßt sich dann mit u(x) = 1/y in die lineare Differentialgleichung
überführen.
Die allgemeine Riccati-Differentialgleichung steht in engem Bezug zu den linearen DGLen zweiter Ordnung: Denn sind I ⊂ ℝ ein Intervall, g, h ∈ C0(I) und f ∈ C1(I), so wird jede auf einem beliebigen Teilintervall von I existierende Lösung y von (1) durch u(x) = exp (−∫ f(x)y(x)dx) in eine nichttriviale Lösung der linearen DGL
überführt. Umgekehrt wird aus jeder nichttrivialen Lösung u von (3) durch
eine Lösung der Riccati-Differentialgleichung (1).
[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B. G. Teubner Stuttgart, 1977.
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