Weg innerhalb eines Graphen mit zusätzlicher Eigenschaft.

Ein alternierender Weg bzgl. eines Matchings M in einem GraphenG ist ein Weg positiver Länge, dessen Kanten abwechselnd zu M und nicht zu M gehören.

Ein alternierender Weg bzgl. eines Matchings M heißt Verbesserungsweg oder augmentierender Weg, wenn die zwei Endpunkte des Weges im Graphen G mit keiner Kante aus M inzidieren. Aus einem Verbesserungsweg W erhält man mit Hilfe der symmetrischen Differenz ein Matching \begin{eqnarray}{M}^{\prime}=(M\backslash K(W))\cup (K(W)\backslash M),\end{eqnarray}

welches eine Kante mehr als M enthält, für das also |M′| = |M| + 1 gilt.

Damit hat man schon die eine Implikation des folgenden Satzes von C. Berge aus dem Jahre 1957 bewiesen, der für die Matchingtheorie von erheblicher Bedeutung ist.

Ein Matching M in einem Graphen G ist genau dann maximal, wenn es bzgl. M keinen Verbesserungsweg in G gibt.