eine Präferenzrelationen von Fuzzy- Mengen.

Eine Fuzzy-Menge \(\tilde{B}\) wird einer Fuzzy-Menge \(\tilde{C}\) auf dem Niveau ϵ ∈ [0, 1] vorgezogen, und man schreibt \(\tilde{B}\,{\succ }_{\varepsilon }\tilde{C}\), wenn ϵ die kleinste reelle Zahl ist, so daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\sup {B}_{\alpha }\ge \sup {C}_{\alpha } & \\ \text{und} & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text{alle}\,\alpha \in \text{[}\varepsilon \text{,1]}\\ \inf {B}_{\alpha }\ge \inf {C}_{\alpha } & \end{array},\end{eqnarray} und für wenigstens ein α ∈ [ϵ, 1] eine dieser Ungleichungen im strengen Sinne erfüllt ist.

Für L-R-Fuzzy-Intervalle \(\begin{eqnarray}\tilde{B}={(\underline{b};\bar{b};\underline{\beta };\bar{\beta })}_{LR}\end{eqnarray}\) und \(\tilde{C}={(\underline{c};\,\bar{c};\,\underline{\gamma };\,\bar{\gamma })}_{LR}\) lassen sich die Bedingungsungleichungen der ϵ-Präferenz vereinfachen zu \begin{eqnarray}\tilde{B}\,\,{\succ }_{\varepsilon }\tilde{C}\Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}\underline{b}-\underline{\beta }{L}^{-1}(\varepsilon ) \ge \underline{c}-\underline{\gamma}{L}^{-1}(\varepsilon )\\ \underline{b} \ge \underline{c}\\ \bar{b} \ge \bar{c}\\ \bar{b}+\bar{\beta }{R}^{-1}(\varepsilon ) \ge \bar{c}+\bar{\gamma }{R}^{-1}(\varepsilon ).\end{array}\right.\end{eqnarray}

Für Fuzzy-Intervalle \begin{eqnarray}\tilde{{X}_{i}}={({\mathop{x}\limits_{\_}}_{i}^{\varepsilon };{\mathop{x}\limits_{\_}}_{i}^{\lambda };{\mathop{x}\limits_{\_}}_{i}^{1};{x}_{i}^{-1};{x}_{i}^{-\lambda };{x}_{i}^{-\varepsilon })}^{\varepsilon,\lambda }\end{eqnarray} des ϵ-λ-Typs lassen sich die Bedingungsungleichungen der ϵ Präferenz vereinfachen zu \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc} & & {\mathop{x}\limits_{\_}}_{i}^{\alpha }\ge {\mathop{x}\limits_{\_}}_{j}^{\alpha } & \\ {\tilde{X}}_{i}\,{\succ }_{\varepsilon }{\tilde{X}}_{j} & \Rightarrow & \text{und} & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\alpha =\varepsilon,\lambda,1.\\ & & {\bar{x}}_{i}^{\alpha }\ge {\bar{x}}_{j}^{\alpha } & \end{array}\end{eqnarray}