Faktorring eines konvergenten Potenzreihenringes, fundamentaler Begriff bei der Untersuchung „singulärer Punkte“ in den Lösungsmengen von Systemen von holomorphen Gleichungen.

Für festes a ∈ ℂⁿ bestimmt offensichtlich jede konvergente Potenzreihe P = Σ c_νX^ν eine holomorphe Funktion auf einem Polyzylinder Pⁿ (a; r) durch 𝓏 ↦ Σ c_ν (𝓏 − a)^ν. Die Menge _n𝒪_a solcher Funktionen ist eine Algebra.

I. allg. betrachtet man nur die Algebra _n𝒪₀, da die Translation τ : ℂⁿ → ℂⁿ, 𝓏 ↦ 𝓏 − a einen Algebraisomorphismus τ⁰ : _n𝒪₀ → _n𝒪_a bestimmt. _n𝒪₀ ist eine lokale Algebra mit maximalem Ideal \begin{eqnarray}{}_{n}{\mathfrak{m}}{}_{0} := {}_{n}{\mathfrak{m}}\,\,:=\,\,\{P\in {}_{n}{\mathscr{O}}{}_{0}|P(0)=0\}\\ \,\,\,\,\,\,\,= {{\mathfrak{m}}}_{[[X]]}\cap {}_{n}{\mathscr{O}}{}_{0}\,\,:=\,\,{{\mathfrak{m}}}_{\{X\}}.\end{eqnarray}

Dabei bezeichne 𝔪_[[X]] das maximale Ideal der Algebra der formalen Potenzreihen in n Unbestimmten über ℂ.

Eine Algebra heißt analytische Algebra, wenn sie isomorph zu der Restklassenalgebra _n𝒪₀/𝔞 über einem Ideal a ist.

[1] Kaup, L.; Kaup, B.: Holomorphic Functions of Several Variables. de Gruyter Studies in Mathematics, 1983.