analytische Scheibe, offene Menge in einer Riemannschen Fläche, die durch eine Karte bijektiv auf eine Kreisscheibe um 0 in ℂ bezogen wird.

Es sei X eine Riemannsche Fläche. Mit einer „Karte einer Riemannschen Fläche“ ist eine Karte gemeint, die zu einem der Atlanten gehört, die die komplexe Struktur definieren. Karten werden auch lokale Koordinaten genannt.

Ist φ : U → V eine Karte der Riemannschen Fläche X und h : V → W ⊂ ℂ eine biholomorphe Abbildung, so ist auch h ∘ φ : U → W eine Karte von X. Insbesondere gibt es zu jedem x₀ ∈ X lokale Koordinaten 𝓏 : U → V mit x₀ ∈ U und 𝓏(x₀) = 0.

Solche lokalen Koordinaten nennt man (lokale) Koordinaten um x₀.

Ist 𝓏 : U → V eine lokale Koordinate um x₀ und D = D_r (0) ⊂ V eine Kreisscheibe um 0 mit Radius r, Δ = 𝓏⁻¹ (D), so nennt man 𝓏 : Δ → D einen Koordinatenkreis oder auch eine analytische (Kreis-)Scheibe um x₀ und r den zugehörigen Radius.

Eine Anwendung der analytischen Kreisscheibe findet sich bei der Übertragung der lokalen Theorie der holomorphen Funktionen mit Hilfe lokaler Koordinaten von der komplexen Ebene auf Riemannsche Flächen.

Ist z. B. f holomorph in einer Umgebung eines Punktes x₀ einer Riemannschen Fläche X und ist 𝓏 eine lokale Koordinate um x₀, so läßt sich f in eine Potenzreihe \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{a}_{v}{(z(x))}^{v}\end{eqnarray}

entwickeln, welche in einer analytischen Kreisscheibe um x₀ konvergiert. Die Koeffizienten a_ν hängen natürlich von der Wahl der lokalen Koordinate ab.