Menge, die lokal als Nullstellenmenge holomorpher Funktionen darstellbar ist. Sei B ⊂ ℂⁿ ein Bereich, M ⊂ B eine Teilmenge und ζ₀ ∈ B ein Punkt. M heißt analytisch in ζ₀, wenn es ein offene Umgebung U = U(ζ₀) ⊂ B und holomorphe Funktionen f₁, ..., f_l in U gibt so, daß \begin{eqnarray} U \cap M = \{ \zeta \in U : f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_1 (\zeta) = 0 \} \end{eqnarray} ist. M heißt analytisch in B, falls M in jedem Punkt von B analytisch ist. Eine in B analytische Menge M ist abgeschlossen in B.

I.allg. kann man analytische Mengen nicht durch globale Gleichungen darstellen. Mit Mitteln der Garbentheorie läßt sich aber der folgende Satz beweisen:

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Holomorphiegebiet, M ⊂ G analytisch. Dann gibt es holomorphe Funktionen f₁, ... , f_n+1 auf G so, daß\begin{eqnarray} M = \{ \zeta \in G: f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_{n+1} (\zeta) = 0 \} \end{eqnarray}ist.

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Gebiet, M analytisch in G. Ein Punkt ζ₀ ∈ M heißt regulärer (gewöhnlicher, glatter Punkt) von M (der Dimension 2k), falls es eine offene Umgebung U(ζ₀) ⊂ G und holomorphe Funktionen f₁, ... , f_n-k auf U gibt, so daß gilt: \begin{eqnarray} 1) U \cap M = \{ \zeta \in U : f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_{n-k} (\zeta) = 0 \}, \: und\\2) Rang \bigg ( \big ( \frac{\partial f_i}{\partial z_j} (\zeta_0) \big ) \begin{array}{} i=1,...,n-k\\j=1,...,n\end{array} \bigg ) = n – k. \end{eqnarray} Ein Punkt ζ₀ ∈ M heißt singulär, falls er nicht regulär ist. Mit S(M) bezeichnet man die Menge der singulären Punkte von M.

Es gilt folgender Satz:

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Gebiet, M analytisch in G und ζ₀ ∈ M ein regulärer Punkt der Dimension 2k. Dann gibt es eine offene Umgebung V(ζ₀) ⊂ G, so daß M ∩ V biholomorph äquivalent zu einem Ebenenstück der reellen Dimension 2k ist.

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Gebiet, M analytisch in G. Dann ist die Menge S(M) der singulären Punkte von M eine in M nirgends dichte analytische Teilmenge von G.

Eine analytische Menge M heißt reduzibel, wenn es analytische Teilmengen M_i ⊂ G, i = 1, 2, gibt, so daß gilt:

1. M = M₁ ∪ M₂.
2. M_i ≠ M für i = 1, 2.

Ist M nicht reduzibel, so nennt man die Menge irreduzibel. Es gilt folgende Aussage:

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Gebiet, M analytisch in G. Dann gibt es ein abzählbares System (M_i) von irreduziblen analytischen Teilmengen von G, so daß gilt:

1. ∪_{i ∈ ℕ} M_i = M
2. Das System (M_i)_{i ∈ ℕ} ist lokal-finit in G.
3. Ist M_i1 ≠ M_i2, so ist auch M_i1 ⊄ M_i2.

Weiterhin gilt:

Ist M eine irreduzible analytische Menge in G und f eine holomorphe Funktion in G mit f|M ≠ 0, so ist \begin{eqnarray} dim_{\mathbb{C}} (M \cap \{ \zeta \in G: f (\zeta) = 0 \}) = dim_{\mathbb{C}} (M) – 1. \end{eqnarray} Darüber hinaus gilt sogar für jede irreduzible Komponente N ⊂ M ∩ 4 {ζ ∈ G : f(ζ) = 0}: \begin{eqnarray} dim_{\mathbb{C}} (N) = dim_{\mathbb{C}} (M) – 1. \end{eqnarray}

Als Folgerung ergibt sich:

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Gebiet, und f₁, ... , f_n-k holomorphe Funktionen in G, \begin{eqnarray} M := \{ \zeta \in G : f_1 (\zeta) = \: ... \: = f_{n-k} (\zeta) = 0 \}, \end{eqnarray} M' ⊂ M eine irreduzible Komponente.

Dann ist dim_ℂ (M') ≥ k.

Wir geben ein Beispiel einer analytischen Menge:

Sei ƒ : ℂⁿ → ℂ definiert durch \begin{eqnarray} f (z_1, \: ... \: , z_n ) := z_1^{s_1} + \: ... \: + z_n^{s_n} \end{eqnarray} mit s_i ∈ ℕ, s_i ≥ 2. Sei M := {ζ ∈ ℂⁿ : ƒ (ζ) = 0}. Es ist 0 = ƒ_zi (z_{1, ... , zn}) = s_i • z^s_i-1_i genau dann, wenn z_i = 0 ist. Das bedeutet, daß höchstens der Nullpunkt als Singularität in Frage kommt. Man kann zeigen, daß S(M) = {0} gilt.

Offensichtlich gehört M zu der Schar (M_t)t ∈ ℂ von analytischen Mengen, die durch \begin{eqnarray} M_t = \{ (z_1, \: ... \: , z_n ) \in \mathbb{C}^n : z_1^{s_1} + \: ... \: + z_n^{s_n} = t \} \end{eqnarray} gegeben ist. Es ist M = M₀ eine analytische Menge mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt, während alle Mengen M_t mit t ≠ 0 regulär sind.

Zum Schluß noch eine andersartige Charakterisierung analytischer Mengen im Kontext Polnischer Räume: Eine analytische Menge ist eine Teilmenge eines Polnischen Raumes, die stetiges Bild eines ebensolchen Raumes ist, d.h:

Es sei Ω ein Polnischer Raum. Eine Untermenge M von Ω ist analytische Menge in Ω, wenn es einen Polnischen Raum Ω' und eine stetige Abbildung ƒ : Ω' → Ω gibt mit ƒ(Ω') = M. Jede Borel-Menge in Ω ist beispielsweise analytisch. Jede nicht-leere analytische Menge M von Ω ist Bild von ℕ^ℕ unter einer stetigen Abbildung.