Lexikon der Mathematik: analytisches Polyeder
wichtiges Hilfsmittel beim Studium von Holomorphiebereichen.
Es seien B ⊂ ℂn und V1,⋯, Vk ⊂ ℂ Bereiche, f1,⋯, fk holomorphe Funktionen in B und U ⊂ B eine offene Teilmenge. Die Menge
heißt analytisches Polyeder in B, falls gilt P ⊂ U. Ist außerdem
so spricht man von einem speziellen analytischen Polyeder in B.
Der folgende Satz und das darauffolgende Beispiel zeigen, daß die analytischen Polyeder den Vorrat an Beispielen von Holomorphiebereichen bereichern:
Sei B ⊂ ℂn ein Bereich. Dann ist jedes analytische Polyeder in B ein Holomorphiebereich.
Im folgenden geben wir ein Beispiel: Es sei q< 1 eine positive reelle Zahl und
Dann ist P offenbar ein analytisches Polyeder, aber weder ein elementar-konvexer Bereich, noch ein kartesisches Produkt von Bereichen.
Der folgende Satz zeigt, daß jeder Holomorphiebereich schon „fast“ ein analytisches Polyeder ist:
Jeder Holomorphiebereich B ⊂ ℂn läßt sich im folgenden Sinne durch spezielle Polyeder ausschöpfen:
Es gibt eine Folge (Pj), von speziellen analytischen Polyedern in B mit Pj ⊂ Pj+1und
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