Aussage in der algebraischen Geometrie über die Charakterisierung holomorpher Geradenbündel.

Sei A = V/∧ ein komplexer Torus. Ein Appell-Humbert-Datum für ∧ ist ein Paar (H, χ), H Hermitesche Form auf V, deren Imaginärteil E ganzzahlig auf ∧ × ∧ ist, χ eine Abbildung ∧ → {z ∈ ℂ | |𝓏| = 1 mit \begin{eqnarray}\chi (\lambda +u) & = & \chi (\lambda )\chi (\mu )\exp (\pi iE(\lambda, \mu ))\\ & = & \chi (\lambda )\chi (\mu ){(-1)}^{E(\lambda, \mu )}.\end{eqnarray}

Zu jeder Hermiteschen Form mit ganzzahligem Imaginärteil gibt es genau 2²g solcher Funktionen 𝒳 (g = dim_𝒞 V). Die Menge 𝒫(∧) aller Appell-Humbert-Daten mit der Addition \begin{eqnarray}({H}_{1},{\chi }_{1})+({H}_{2},{\chi }_{2})=({H}_{1}+{H}_{2},{\chi }_{1}{\chi }_{2})\end{eqnarray}

ist eine abelsche Gruppe. Die Gruppe \begin{eqnarray}\hat{\wedge }\end{eqnarray} der unitären Charaktere von ∧ ist eine Untergruppe von 𝒫(∧). Jedem (H, 𝒳) ∈ 𝒫(∧) und jedem λ ∈ ∧ wird eine holomorphe Funktion a_λ auf V zugeordnet: \begin{eqnarray}{a}_{\lambda }(\upsilon )=\chi (\lambda )\exp (\pi (H(\lambda, \upsilon ))+\frac{\pi }{2}H(\lambda, \lambda )).\end{eqnarray}

Damit kann man eine Operation der Gruppe ∧ auf dem trivialen Geradenbündel V × ℂ → V definieren: Auf V durch die Addition mit Elementen von ∧ und auf V × ℂ durch (v, 𝓏) + λ = (v + λ, a_λ(v)𝓏).

Dann ist \begin{eqnarray}L(H,\chi )=V\times \text{\Bbb{C}}/\wedge \mathop{\to }\limits^{p}V/\wedge =A\end{eqnarray} ein holomorphes Geradenbündel. Offensichtlich gilt \begin{eqnarray}L({H}_{1}+{H}_{2},{\chi }_{1}{\chi }_{2})\cong L({H}_{1},{\chi }_{1})\otimes L({H}_{2},{\chi }_{2}).\end{eqnarray}

Es gilt nun der Satz von Appell-Humbert:

Jedes holomorphe Geradenbündel auf A = V/∧ ist isomorph zu genau einem L(H, 𝒳), (H, 𝒳) ∈ P(∧), dabei entspricht\begin{eqnarray}\hat{\wedge }\subset P(\wedge )\end{eqnarray}den Geradenbündeln mit trivialer ersterChern-Klasse.