Spezial-fall der besten Approximation.

Es sei H ein Prä-Hilbertraum mit Skalarprodukt ⟨ ·, · ⟩. Zu f ∈ H und einem Unterraum V von H sucht man die beste Approximation υ^∗ ∈ V an f in der durch das Skalarprodukt induzierten Norm. Die beste Approximation ist eindeutig bestimmt und kann, als große Ausnahme innerhalb der Theorie bester Approximation, durch Lösen eines linearen Gleichungssystems stets explizit berechnet werden.

υ^∗ ∈ V ist genau dann beste Approximation an f im quadratischen Mittel, wenn gilt \begin{eqnarray}\langle f-{\upsilon }^{* },\upsilon \rangle =0\end{eqnarray}

für alle υ ∈ V. υ^∗ ist also identisch mit der orthogonalen Projektion von f auf V.

Ist V endlich-dimensional und besitzt die Basis {υ₁,⋯, υ_n}, so lassen sich die Koeffizienten a_ν in der Basis-Darstellung \begin{eqnarray}\displaystyle {\sum }_{\nu =1}^{n}{a}_{\nu }{\upsilon }_{\nu }\end{eqnarray} durch Lösen des Gleichungssystems \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}{a}_{\nu }\langle {\upsilon }_{\nu },{\upsilon }_{\mu }\rangle =\langle f,{\upsilon }_{\mu }\rangle, \mu =1,\ldots, n\end{eqnarray}

bestimmen. Die Matrix dieses Systems bezeichnet man als Gramsche Matrix. Sie ist stets regulär.

Ist weiterhin {υ₁,⋯, υ_n} eine Orthonormalbasis von V, so gilt \begin{eqnarray}{\upsilon }^{* }=\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\langle f,{\upsilon }_{\nu }\rangle {\upsilon }_{\nu }.\end{eqnarray}