Lexikon der Mathematik: Approximationseigenschaft eines Banachraums
ist für einen Banachraum X erfüllt, falls es zu jeder kompakten Teilmenge C von X und jedem ϵ > 0 einen stetigen linearen Operator T endlichen Ranges mit ∥x − Tx∥ ≤ ϵ für alle x ∈ C gibt. X besitzt die metrische Approximationseigenschaft, falls man sogar einen solchen Operator mit ∥T∥ ≤ 1 finden kann.
Die klassischen Funktionen- und Folgenräume C(K), Lp(μ), c0, ℓp etc. besitzen die metrische Approximationseigenschaft, und jeder Banachraum mit einer Schauder-Basis besitzt die Approximationseigenschaft. Im Jahre 1973 wurde von Enflo das erste Beispiel eines Banachraums ohne die Approximationseigenschaft konstruiert, und 1981 zeigte Szankowski, daß der nicht-separable Raum L(H) aller Operatoren auf einem Hilbertraum ein konkretes Beispiel eines Banachraums ohne die Approximationseigenschaft ist.
Die Approximationseigenschaft von X ist dazu äquivalent, daß für jeden Banachraum E jeder kompakte Operator von E nach X Grenzwert einer Folge von stetigen endlichdimensionalen Operatoren ist.
[1] Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L.: Classical Banach Spaces I. Springer Berlin/Heidelberg, 1977.
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