Reihendarstellungen von π, die man aus Darstellungen von π als Summe von Arcustangensausdrücken und Reihenentwicklungen der Arcustangensfunktion erhält. So ergibt sich aus \(\tan \frac{\pi }{4}=1\), also \(\frac{\pi }{4}=\arctan 1\), die nur langsam konvergierende Leibniz-Reihe und aus \(\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), also \(\frac{\pi }{6}=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}\), die bessere Sharp-Reihe. Die Potenzreihe der Arcustangensfunktion konvergiert linear und um so schneller, je kleiner das Argument ist. Daher sind Darstellungen mit kleinen Arcustangensargumenten besser geeignet für die schnelle Berechnung von Näherungen zu π.

Aus der Formel von Machin erhält man z. B. die Reihe

\begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}(\frac{4}{{5}^{2n+1}}-\frac{1}{{239}^{2n+1}}),\end{eqnarray}

Weitere Reihen bekommt man aus der Formel von Gauß, der Formel von Klingenstierna, der Formel von Loney, der Formel von Rutherford, der Formel von Størmer und der Formel von Strassnitzky.

Herzuleiten sind solche Arcustangensformeln aus dem Additionstheorem

\begin{eqnarray}\arctan \frac{x+y}{1-xy}=\arctan x+\arctan y,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\arctan \frac{1}{p}=\arctan \frac{1}{p+q}+\arctan \frac{q}{{p}^{2}+pq+1}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1-q}{p}-\arctan \frac{p-1}{p+1}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\arctan x=\frac{y}{x}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{2\cdot 4\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2n}{3\cdot 5\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2n+1)}{y}^{n},\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}y=\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}},\end{eqnarray}