Lexikon der Mathematik: Arithmetik Erster Ordnung
Bezeichnung für die elementare Peano-Arithmetik PA.
Der (nichtelementaren) Peano-Arithmetik werden die folgenden fünf Axiome zugrundegelegt:
- Null ist eine natürliche Zahl.
- Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine natürliche Zahl m, die unmittelbarer Nachfolger von n ist.
- Jede natürliche Zahl ist unmittelbarer Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
- Die Zahl Null ist kein unmittelbarer Nachfolger einer natürlichen Zahl.
- Die Menge der natürlichen Zahlen ist die kleinste Menge, die die Null enthält und die mit jeder natürlichen Zahl auch deren unmittelbaren Nachfolger enthält.
Die Axiome (1)–(5) sind ausreichend, um die Addition und Multiplikation für die natürlichen Zahlen induktiv zu definieren. Weiterhin kann gezeigt werden, daß es bis auf Isomorphie nur ein Modell gibt, das alle Bedingungen (1)–(5) erfüllt. Das fünfte Axiom (Induktionsaxiom) ist nicht elementar formuliert, es benutzt sowohl Elemente (natürliche Zahlen) als auch Mengen von natürlichen Zahlen. Dadurch lassen sich einige wirkungsvolle Hilfsmittel bei der Untersuchung der (nichtelementaren) Peano-Arithmetik nicht nutzen.
PA setzt ein schwächeres, jedoch elementares Axiomensystem voraus, mit dessen Hilfe sich weite Teile der Zahlentheorie aufbauen lassen. Die verwendete elementare SpracheL wird durch die nichtlogischen Symbole S, +, ·, 0 bestimmt, welche der Reihe nach die Nachfolgerfunktion, die Addition, die Multiplikation und die Null bezeichnen. Als elementare Axiome nutzt man: \begin{eqnarray}\varphi (0)\wedge \forall x(\varphi (x)\to \varphi (S(x)))\to \forall x\varphi (x).\end{eqnarray}
(i) und (ii) entsprechen den Axiomen (3) und (4). Die Forderungen (1) und (2) werden schon durch die Eigenschaften der elementaren Sprache L realisiert. (iii) und (iv) sind induktive Definitionen für die Addition bzw. Multiplikation. (v) dient als Induktionsaxiom. Es besteht aus unendlich vielen „gleichgestalteten“ elementaren Aussagen, deren Aussagekraft jedoch schwächer ist als die von (5). Mit Hilfe von (v) läßt sich nicht jede Eigenschaft von natürlichen Zahlen induktiv beweisen, sondern nur solche, die in der zugrundegelegten elementaren Sprache durch Ausdrücke formuliert werden können (mehr ist auch oft nicht notwendig). PA ist als deduktiver Abschluß von {(i),…, (v)} definiert.
Das Standardmodell ℕ = ⟨N, S, +, ·, 0⟩ der natürlichen Zahlen ist ein Modell für (i)–(v), jedoch nicht das einzige. Es gibt Modelle ℕ* = ⟨N*, S*,+*, ·*, 0*⟩ von (i)–(v), die mit ℕ nicht isomorph sind, in denen jedoch die gleichen Aussagen aus L gelten wie in ℕ. ℕ* heißt dann auch Nichtstandardmodell von PA. Solche Modelle können beim Auffinden von Lösungen diophantischer Gleichungen dienlich sein. Das Axiomensystem ist nicht vollständig und nach dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz (Beweistheorie) gibt es kein „überschaubares“ vollständiges Axiomensystem, aus dem mittels prädikatenlogischer Schlußregeln genau die in dem Standardmodell ℕ gültigen Aussagen beweisbar sind. Man vergleiche auch Axiomatische Mengenlehre.
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