Lexikon der Mathematik: Astroide
manchmal auch Sternkurve genannt, Kurve mit der Parametergleichung x = a cos3(τ), y = a sin3(τ),
Aus der Parametergleichung ergibt sich die implizite Kurvengleichung x2/3 + y2/3 = a2/3. Die Astroide ist die Einhüllende der Geradenschar, die ein Stab fester Länge a beschreibt, dessen Enden sich in ℝ2 auf der x-bzw. y-Achse bewegen.
Astroide als Einhüllende einer Geradenschar
Für die Krümmungsfunktion κ der Astroide erhält man aus der Parametergleichung den Ausdruck κ (t) = −2 sin(2t)/2a, die Bogenlänge ist im Bereich 0 ≤ t ≤ π/2 durch
\begin{eqnarray}\lambda (t)=3(1-\cos (2t))/2\end{eqnarray}
gegeben. Die von der Astroide eingeschlossene Flache hat den Inhalt A = 3α2π/8 ≈ 1.17181 α2.Außerdem tritt die Astroide als gemeine Hypozykloide eines Kreises von Radius 1 auf, der innen auf einem Kreis von Radius 4 rollt.
Astroide als spezielle Hypozykloide
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