Lexikon der Mathematik: Ausgleich im Kollektiv
ökonomische Grundlage der Versicherungsmathematik.
Das Unternehmen verpflichtet sich (in Vertretung des „Kollektivs der Versicherten“) zu einer Zahlung, sofern ein bestimmtes Ereignis eintritt, d. h. eine Zufallsvariable Rj einen vorgegebenen Wert annimmt. Dafür ist eine Prämie Pj zu zahlen.
Ein Kollektiv, bestehend aus N einzelnen Risiken Rj, j = 1, …, N, ist im Gleichgewicht, wenn der Erwartungswert des Gesamtrisikos \(\text{R}=\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N}{R}_{j}\) gleich der Prämiensumme ist, d. h.
\begin{eqnarray}E[\text{R}]=\displaystyle \sum _{j=1}^{N}{P}_{j}.\end{eqnarray}
Mit Hilfe des Gesetzes der großen Zahlen zeigt die Risikotheorie, daß die Varianz V(R) relativ E[R] umso geringer ist, je größer das Kollektiv ist. Somit sinkt die Wahrscheinlichkeit für einen überproportional hohen Gesamtverlust. Für N unabhängige identisch verteilte Risiken Rj ergibt sich aus der Tschebyschew-Ungleichung eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, daß der Gesamtschaden R vom Erwartungswert relativ um mehr als а abweicht:\begin{eqnarray}P(|\text{R}-E[\text{R}]|\ge \alpha E[\text{R}])\lt \frac{V({R}_{j})}{{\alpha }^{2}NE({R}_{j})}.\end{eqnarray}
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