Lexikon der Mathematik: Austauschlemma
manchmal auch als Austauschsatz bezeichnet, eine der fundamentalen Aussagen der elementaren Linearen Algebra, die wie folgt formuliert werden kann:
Es seien (b1, …, bn) und (c1, …, cn) zwei Basen eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V über \({\mathbb{k}}\), und es sei i ∈ {1, …, n}.
Dann gibt es einen Index j ∈ {1, …, n}, so daß
\begin{eqnarray}({b}_{1},\ldots, {b}_{i-1},{c}_{j},{b}_{i+1},\ldots, {b}_{n})\end{eqnarray}
wieder eine Basis von V bildet.Eine andere Formulierung ist die folgende:
Es sei (b1, …, bn) eine Basis des VektorraumesV über \({\mathbb{k}}\)und es sei k ∈{1, …, n}.
Ist dann
\begin{eqnarray}\upsilon =\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda }_{i}{b}_{i}\in V\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}({b}_{1},\ldots, {b}_{k-1},\upsilon, {b}_{k+1},\ldots, {b}_{n})\end{eqnarray}
wieder eine Basis von V.
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