Prinzip der Ziehung einer Probe in der Kombinatorik.

Ist M = {a₁, …, a_n} eine beliebige endliche Menge, so erhält man eine Auswahl aus M mit Zurücklegen, indem man r Elemente aus M auswählt und dabei darauf achtet, daß ein einmal gewähltes Element jederzeit wieder ausgewählt werden kann. Die Auswahl mit Zurücklegen entspricht also dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne, wobei eine gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird.

Man unterscheidet bei solchen Proben, die durch Auswahl mit Zurücklegen entstanden sind, zwischen geordneten und ungeordneten Proben und spricht dabei auch von Proben mit Wiederholungen. Eine geordnete Probe vom Umfang r aus M mit Wiederholung ist ein r-Tupel \(({a}_{{j}_{1}},\ldots, {a}_{{j}_{r}})\) mit 1 ≤ j_i ≤ n. Hier macht es also einen Unterschied, ob man beispielsweise (a₁, a₂) oder (a₂, a₁) auswählt. Grundsätzlich gibt es n^r geordnete Proben mit Zurücklegen vom Umfang r aus einer n-elementigen Menge. Dagegen ist eine ungeordnete Probe vom Umfang r aus M mit Wiederholungen ein geordnetes Tupel \(({a}_{{j}_{1}},\ldots, {a}_{{j}_{r}})\) mit 1 ≤ j_i ≤ n und j_i ≤ j_i+1 für alle i. Grundsätzlich gibt es \((n+r-1\\ r)\) ungeordnete Proben mit Zurücklegen vom Umfang r aus einer n-elementigen Menge.