Lexikon der Mathematik: autoregressiver Prozeß der gleitenden Mittel
ARMA(p,q)-Prozeß, ein stochastischer Prozeß (X(t))t∈T mit diskretem Zeitbereich T = {…, −1, 0, 1, …}, der der Gleichung
\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{p}{a}_{k}X(t-k)=\displaystyle \sum _{k=0}^{q}{\beta }_{k}\varepsilon (t-k),t\in T\end{eqnarray}
Dabei sind die Koeffizienten ak für k = 0, …, p und ßk für k = 0, …, q reelle Zahlen mit
\begin{eqnarray}{a}_{p}\ne 0,\beta (q))\text{}\ne 0\,\mathrm{und}\,{a}_{0}={\beta }_{0}=\text{}1,\end{eqnarray}
(X(t))t∈T ist im weiteren Sinne stationär, falls alle komplexen Nullstellen des Polynoms
\begin{eqnarray}P(z)=1+\displaystyle \sum _{k=1}^{p}{a}_{k}{z}^{k}\end{eqnarray}
außerhalb des Einheitskreises liegen. In diesem Fall ergibt sich für die Spektraldichte:\begin{eqnarray}f(\lambda )=\frac{{\sigma }_{\varepsilon }^{2}}{2\pi }{|\frac{\displaystyle \sum {}_{k=0}^{q}{\beta }_{k}{e}^{i\lambda k}}{\displaystyle \sum {}_{k=0}^{p}{a}_{k}{e}^{i\lambda k}}|}^{2},-\pi \le \lambda \lt \pi.\end{eqnarray}
Besitzt das Polynom \(P(z)=1+\displaystyle \sum {}_{k=1}^{p}{a}_{k}{z}^{k}\) die d-fache Nullstelle z = 1, d ∈ {1, …, p}, und sonst nur Nullstellen außerhalb des Einheitskreises, so spricht man von einem autoregressiven integrierten Prozeß der gleitenden Mittel der Ordnungen (p — d, d, q), bzw. von einem ARIMA(p — d, d, q)-Prozeß.
ARMA-und ARIMA-Prozesse werden in der Zeitreihenanalyse zur Modellierung stochastischer zeitabhängiger Vorgänge angewendet.
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