Theorem zur Artinschen Vermutung bezüglich des Körpers ℚ_p der p-adischen Zahlen. Diese Vermutung, die mit (A, n, k) bezeichnet wird, besagt:

Jedes homogene Polynom f ∈ ℚ_p[x₁, …, x_n] vom Grad k mit n > k²besitzt eine nichttriviale Lösung in ℚ_p.

Terjanian zeigte, daß die Artinsche Vermutung i.allg. nicht zutrifft. Lang betrachtete den Körper ℤ_p((t)) der formalen Potenzreihen über ℤ_p, der eine gewisse Ähnlichkeit mit ℚ_p aufweist, und wies nach, daß ℤ_p((t)) die Eigenschaft A(n, k) besitzt. Ax-Kochen und (unabhängig von ihnen) Ershov zeigten das folgende Theorem:

Für alle positiven ganzen Zahlen n, k gibt es eine endliche Menge P₀(n, k) von Primzahlen so, daß für jede Primzahl p ∉ P₀(n, k) die Artinsche Vermutung (A, n, k) gilt.

Eine andere Formulierung, die gewisse Analogien zwischen ℚ_p und ℤ_p((t)) ausnutzt, ist durch das folgende sog. Isomorphietheorem gegeben:

Ist P die Menge aller Primzahlen und U ein Ultrafilter über P, der nicht Hauptfilter ist, dann sind die Ultraprodukte\begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{U}{{\rm{{\mathbb{Q}}}}}_{p}\,\text{und}\,\displaystyle \prod _{U}{{\rm{{\mathbb{Z}}}}}_{p}((t))\end{eqnarray}isomorph.