Aussage über die punktweise Konvergenz stetiger linearer Abbildungen.

Es seien V und W Banachräume und (Tn) eine Folge von stetigen linearen Abbildungen\begin{eqnarray}{T}_{n}:V\to W.\end{eqnarray}

Genau dann konvergiert die Folge T_npunktweise gegen eine stetige lineare Abbildung T : V → W, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Folge der Normen ‖T_n‖ ist beschränkt.
2. Es gibt eine in V dichte Menge M, so daß für alle x ∈ M die Folge (T_n(x)) konvergiert.

Mit diesem Satz kann man also einerseits von der punktweisen Konvergenz auf einer dichten Menge zurückschließen auf die punktweise Konvergenz auf dem gesamten Banachraum, und andererseits von der punktweisen Konvergenz auf dem Banachraum auf die Beschränktheit der Folge der Normen.