ein vollständiger normierter Raum, d. h., ein normierter Raum(X, ‖·‖) so, daß der assoziierte metrische Raum mit der Metrik d(x, y) = ‖x − y‖ vollständig ist.

Der Begriff des Banachraums ist fundamental für die Funktionalanalysis und die moderne Analysis überhaupt. Er entwickelte sich zwischen 1904 und 1922 in Arbeiten von Hilbert, Riesz, Helly, Wiener, Fréchet und schließlich Banach selbst, der Banachräume in den zwanziger und dreißiger Jahren unter dem Namen „Räume vom Typ (B)“ zum Gegenstand der Forschung machte.

Für Beispiele von Banachräumen vergleiche man Folgenräume und Funktionenräume.

Zu den grundlegenden Sätzen der Theorie der Banachräume zählen der Fortsetzungssatz und der Trennungssatz von Hahn-Banach (Hahn-Banach-Sätze, diese gelten auch in nicht vollständigen normierten Räumen), der Satz von Banach-Steinhaus, der Satz von der offenen Abbildung, der Satz vom abgeschlossenen Graphen und der Satz vom abgeschlossenen Wertebereich. Wichtige Klassen von Banachräumen sind die gleichmäßig konvexen Räume und die reflexiven Räume.

Wesentliche Hilfsmittel zur Untersuchung der Struktur eines Banachraums sind die schwache Topologie und die Schwach-*-Topologie des Dualraums; hier ist das zentrale Ergebnis der Satz von Alaoglu.