Realisierung der Heisenberg-Weyl-Algebra über dem Bargmann-Raum ℱ.

Erzeuger der Heisenberg-Weyl-Algebra sind die Operatoren \(\widehat{p}\), \(\widehat{q}\), \(\widehat{I}\) (Einheitsoperator) oder \(\widehat{a}\), \({\widehat{a}}^{+}\), \(\widehat{I}\)Ihre Kommutatoren sind \([\widehat{q},\widehat{p}]=i\hslash \widehat{I}\), \([\widehat{q},\widehat{I}]=[\widehat{p},\widehat{I}]=0\,{\rm{bzw}}\). \([\widehat{a},{\widehat{a}}^{+}]=\widehat{I}\), \([\widehat{a},\widehat{I}]=[{\widehat{a}}^{+},\widehat{I}]=0\,{\rm{mit}}\)\begin{eqnarray}\widehat{a}:=\frac{q+ip}{\sqrt{2\hslash }}\,{\rm{und}}\,{\widehat{a}}^{+}:=\frac{q-ip}{\sqrt{2\hslash }}.\end{eqnarray}

Auf Fock geht die Realisierung \(\widehat{a}\to \frac{d}{dz}\), \({\widehat{a}}^{+}\to z\) zurück. Diese Operatoren werden auf die Elemente des Bargmann-Raums ℱ angewendet, die ganze analytische Funktionen ψ(z) über der komplexen Ebene sind und \begin{eqnarray}{\Vert \psi \Vert }^{2}:=\int \exp (-{|z|}^{2}){|\psi (z)|}^{2}d\mu (z)\lt \infty \end{eqnarray}erfüllen, wobei \(d\mu (z):=\frac{1}{\pi }dxdy\) und z = x + iy

Mit dem inneren Produkt \begin{eqnarray}\langle {\psi }_{1}|{\psi }_{2}\rangle :=\int \exp (-{|z|}^{2}){\overline{\psi }}_{1}(z){\psi }_{2}(z)d\mu (z)\end{eqnarray} ist der Bargmann-Raum ein Hilbert-Raum.

Sei φ ∈ Ƶ²(ℝ). Die Bargmann-Transformation Bφ von φ wird durch \begin{eqnarray}(B\phi )(z)) & := & f(z)\\ & := & \frac{1}{\sqrt{\pi \hslash }}\int {e}^{-\frac{1}{2\hslash }({z}^{2}+{x}^{2}+2\sqrt{2zx})}\phi (x)dx\end{eqnarray}definiert und ist eine unitäre Abbildung zwischen Ƶ²(ℝ) und ℱ.