eine linear unabhängige und den Vektorraum erzeugende Familie von Elementen des Vektorraumes.

Ist \begin{eqnarray}B={({b}_{i})}_{i\in I}\end{eqnarray} eine Basis des Vektorraumes V ≠ {0}, so gibt es zu jedem v ≠ 0 ∈ V genau eine endliche Teilfamilie \(({b}_{{i}_{1}},\,\ldots,{b}_{{i}_{n}})\) von B und hierzu eindeutig bestimmte Skalare α₁,…, α_n ∈ 𝕂\{0}, so daß gilt: \begin{eqnarray}v=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}{b}_{ij}.\end{eqnarray}

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis, wie man mit Hilfe des Zornschen Lemmas beweist.

Die leere Menge ist die einzige Basis des Nullraumes {0}.

Eine Familie B von Elementen eines Vektorraumes V ist genau dann Basis von V, wenn sie minimales Erzeugendensystem von V ist, d. h. falls sie V erzeugt, jede echte Teilfamilie von B den Raum V jedoch nicht erzeugt.

Eine Familie B von Elementen eines Vektorraumes V ist genau dann Basis von V, wenn sie maximal linear unabhängig ist, d. h., falls sie linear unabhängig ist, jede Familie, die sie als echte Teilfamilie enthält, jedoch linear abhängig ist. Ist B eine Basis des Vektorraumes V, so wird ein b ∈ B als Basisvektor bezeichnet. Ist V von endlicher Dimension n, so enthält jede Basis von V genau n Elemente.