Überführung einer Basis b = (b₁, …, b_n) eines n-dimensionalen VektorraumesV über 𝕂 in eine Basis \(b^{\prime} =({b}_{1}^{^{\prime} },\ldots,{b}_{n}^{^{\prime} })\) von V mittels einer regulären (n × n)-Übergangsmatrix A = (a_ij) über 𝕂 durch folgendes Schema: \begin{eqnarray}{b}_{i}^{^{\prime} }=\sum _{j=1}^{n}{a}_{ij}{b}_{j}\end{eqnarray} für 1 ≤ i ≤ n.

Mit b_i = (b_i1, …, b_in) und \({b}_{i}^{^{\prime} }=({b}_{i1}^{^{\prime} },\ldots,{b}_{in}^{^{\prime} })\) (1 ≤ i ≤ n) gilt mit den beiden (n × n)-Matrizen B = (b_ij) und \(B^{\prime} =({b}_{ij}^{^{\prime} })\) also \begin{eqnarray}AB=B^{\prime} .\end{eqnarray}

(In der i-ten Zeile der Matrix A stehen die Koordinaten des i-ten Basisvektors \({b}_{i}^{^{\prime} }\) von b′ bzgl. der Basis b.)

Ist A nicht regulär, so ist \(b^{\prime} =({b}_{1}^{^{\prime} },\ldots,{b}_{n}^{^{\prime} })\) keine Basis von V.

Überführt die Matrix A die Basis b in die Basis b′, so überführt die Matrix A⁻¹ die Basis b′ in b (Basiswechsel).