bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung, Verallgemeinerung des Begriffs der Verteilung einer Zufallsvariablen mit dem Ziel, die Verteilung unter gegebenen Vorbedingungen zubeschreiben.

Sei (Ω, 𝒜, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, 𝒞 ⊂ 𝒜 eine Unter-σ-Algebra und X eine Zufallsvariable auf (Ω, 𝒜, P) mit Werten in einem Meßraum (E, ϵ). Eine Abbildung P_X|𝒞 : Ω × ϵ → [0, 1], (ω, B) ↦ P_X|𝒞(ω, B), heißt bedingte Verteilung von X bezüglich 𝒞, falls folgendes gilt:

1. Für alle ω ∈ Ω wird durch die Abbildung B ↦ P_X|_C (ω, B) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ϵ definiert.
2. Für alle B ∈ ϵ ist die Abbildung ω ↦ P_X|𝒞(ω, B) eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit P({X ∈ B}|𝒞) von {X ∈ B} bezüglich 𝒞

(bedingte Wahrscheinlichkeit bezüglich einer Unter-σ-Algebra).

Besonders einfach läßt sich die (in diesem Fall eindeutig bestimmte) bedingte Verteilung von X bezüglich 𝒞 angeben, wenn 𝒞 von paarweise disjunkten Mengen A₁, …, A_n ∈ 𝒜 mit Ω = A₁ ∪ … ∪ A_n sowie P(A_i) > 0, i = 1, …, n erzeugt wird.

Für B ∈ ϵ und ω ∈ A_i ist dann P_X|𝒞(ω, B) gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit P({X ∈ B}|A_i) von {X ∈ B} gegeben A_i. Daraus folgt insbesondere, daß P_X|𝒞(ω, ·) für alle ω ∈ Ω gleich der Verteilung P_X von X ist, falls \({\mathscr{C}}=\{\rlap{/}{0},{\rm{\Omega }}\}\).

Ein hinreichendes Kriterium für die Existenz einer bedingten Verteilung von X bezüglich 𝒞 gibt folgender Satz:

Ist E ein Polnischer Raum und ϵ die Borel-σ-Algebra auf E, so existiert eine bedingte Verteilung von X bezüglich 𝒞.

Insbesondere existiert P_X|𝒞, falls X reellwertig ist, also E = ℝ. In diesem Fall nennt man die Abbildung F_X|𝒞 : Ω × R → [0, 1], \begin{eqnarray}{F}_{X|{\mathscr{C}}}(\omega,x):={P}_{X|{\mathscr{C}}}(\omega,(-\infty,x])\end{eqnarray} bedingte Verteilungsfunktion von X bezüglich 𝒞 oder reguläre bedingte Verteilungsfunktion von X bezüglich 𝒞.

Wird die Unter-σ-Algebra 𝒞 von einer Zufallsvariablen Y : (Ω, 𝒜) → (F, ℱ) mit Werten in einem Meßraum (F, ℱ) erzeugt, so nennt man P_X|𝒞 bedingte Verteilung von X gegeben Y und schreibt statt P_X|𝒞 auch P_X|Y. Sind speziell X und Y unabhängige Zufallsvariablen und ist P_X die Verteilung von X, so ist P_X|Y (ω, B) := P_X (B), ω ∈ Ω, B ∈ ϵ, eine bedingte Verteilung von X gegeben Y.

Häufig möchte man den Einfluß von Y auf die Verteilung von X weniger durch die von Y erzeugte Unter-σ-Algebra, als durch die Werte von Y beschreiben. Sei P_Y die Verteilung von Y und Q : F × ϵ → [0, 1], (y, B) ↦ Q(y, B) eine dung, für die folgendes gilt:

1. Für alle y ∈ F wird durch die Abbildung B ↦ Q(y, B) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ϵ definiert.
2. Für alle B ∈ ϵ ist die Abbildung y ↦ Q(y, B) ℱ-meßbar, und es gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{D}Q(y,B){P}_{Y}(dy)=P(\{X\in B\}\cap \{Y\in D\})\end{eqnarray}für alle D ∈ ℱ, d. h. Q(y, B) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit P({X ∈ B} Y = y) von {X ∈ B} gegeben Y = y (bedingte Wahrscheinlichkeit bezüglich einer Unter-σ-Algebra).

Für alle y ∈ ℱ heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß Q(y, ·) bedingte Verteilung von X gegeben Y = y, in Zeichen P_X|Y=y. Eine solche Abbildung Q existiert, falls E polnisch und ϵ die Borel-σ-Algebra auf E ist. Ist insbesondere X reellwertig, also E = ℝ, so nennt man für alle y ∈ F die Abbildung F_X|Y(·|y) : ℝ → [0, 1] \begin{eqnarray}{F}_{X|Y}(x,y):={P}_{X|Y=y}((-\infty,x])\end{eqnarray} bedingte Verteilungsfunktion von X gegeben Y = y

Besitzt Y Werte in {y_1,y₂, …} mit &Rgr;_Y({y_i})> 0 für i = 1, 2, …, so ist \begin{eqnarray}{P}_{X|Y=y}(B)=P(\{X\in B\}|\{Y=y\})\end{eqnarray} für alle B ∈ ϵ, y ∈ {y₁, y₂, …}. Sind X und Y reellwertig, und existiert eine Dichte f (x, y) von (X, Y), so ist \begin{eqnarray}{f}_{Y}(y):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{{\mathbb{R}}}}}f(x,y)dx\gt 0\end{eqnarray}

P_Y-fast sicher. Für alle y ∈ ℝ mit f_Y(y) > 0 und für alle x ∈ ℝ sei f_X|Y(x|y) := f(x, y)/f_Y(y). Ist B die Borel-σ-Algebra auf ℝ, so gilt für alle B ∈ ℬ \begin{eqnarray}{P}_{X|Y=y}(B)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{B}f(x,y)dx\end{eqnarray}

P_Y-fast sicher. f_X|Y wird bedingte Dichte von X gegeben Y genannt.