Lexikon der Mathematik: begleitendes n-Bein
eine Folge \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n}\}\) von n orthonormierten Vektorfeldern auf einer offenen Teilmenge U ⊂ M einer n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit M.
Ist g die Metrik von M, so soll in jedem Punkt x ∈ M die Bedingung
Den Levi-Civita-Zusammenhang ∇ kann man mit Hilfe eines begleitenden n-Beins durch n2 differentielle 1-Formen \({\omega }_{i}^{j}\)ausdrücken, die durch die Gleichung
Die Komponenten \({R}_{lij}^{k}\) des Riemannschen Krümmungtensors sind durch
Eine ähnliche Gleichung gilt für den Torsionstensor. Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ∇ ein Zusammenhang und \(({{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n})\) ein beliebiges lokales Basisfeld, so besteht folgende Beziehung zwischen dem Torsionstensor \(T({{\mathfrak{e}}}_{i},{{\mathfrak{e}}}_{j})={\sum }_{k=1}^{n}{T}_{ij}^{k}{{\mathfrak{e}}}_{k}\) und den Zusammenhangsformen:
Die Gleichungen (1) und (2) heißen die Cartanschen Strukturgleichungen des Zusammenhangs.
Die begleitenden n-Beine haben viele Anwendungen in der Theorie der Untermannigfaltigkeiten. Ist N ⊂ M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit (k< n), so wählt man ein angepaßtes begleitendes n-Bein \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n}\}\) so, daß die ersten k Vektoren \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{k}\}\) zum Tangentialraum von N gehören. Die Cartanschen Strukturgleichungen ermöglichen die Untersuchung von differentiellen Invarianten von N.
Ist speziell α(t) eine allgemein gekrümmte Kurve in M, d. h., sind die ersten n Ableitungen \({{\mathfrak{a}}}_{1}=\alpha ^{\prime} (t)\), \({{\mathfrak{a}}}_{2}={\nabla }_{{\mathfrak{a}}1}{\mathfrak{a}}1\), … \({{\mathfrak{a}}}_{n}={\nabla }_{{\mathfrak{a}}1}{{\mathfrak{a}}}_{n-1}\) linear unabhängig, so definiert man ein angepaßtes begleitendes n-Bein \(\{{{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{e}}}_{n}\}\) der Kurve durch sukzessives Orthonormieren der Vektoren \(({{\mathfrak{a}}}_{1},\ldots,{{\mathfrak{a}}}_{n})\).
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.