wichtiges Beispiel eines Hilbertschen Funktionenraumes.

Es sei G ⊂ ℂ ein beliebiges Gebiet, L² (G) der Raum der bezüglich des Lebesgue-Maßes \begin{eqnarray}dV(z)=dxdy\end{eqnarray} quadratintegrierbaren meßbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt \begin{eqnarray}(f,g)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{G}f(z)\overline{g(z)}dV(z),\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}^{2}(G)={L}^{2}(G)\cap {\mathscr{O}}(G)\end{eqnarray}der Unterraum der quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen. Für z ∈ G bezeichne δ (z) den Randabstand von z, also 0 < δ (z) ≤ ∞. Ist R< δ (z), so liegt der abgeschlossene Kreis \begin{eqnarray}\overline{{D}_{{\rm{R}}}(z)}\end{eqnarray}noch in G, und nach der Flächenmittelwerteigenschaft holomorpher Funktionen ist \begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{\pi {R}^{2}}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\rm{D}}}_{R}(z)}f(\zeta )dV(\zeta ).\end{eqnarray}

Dabei ist f eine beliebige auf G holomorphe Funktion.

Unter Verwendung der Schwarzschen Ungleichung folgt \begin{eqnarray}|f(z)|\le \frac{1}{\sqrt{\pi }R}{[\displaystyle \mathop{\int }\limits_{G}{|f(\zeta )|}^{2}dV(\zeta )]}^{\frac{1}{2}},\end{eqnarray} woraus sich die Bergmansche Ungleichung ergibt:

Für jede quadratintegrierbare holomorphe Funktion f und jedes z ∈ G ist \begin{eqnarray}|f(z)|\le \frac{1}{\sqrt{\pi }\delta (z)}\Vert f\Vert .\end{eqnarray}

Für G = ℂ besagt die Ungleichung, daß f ≡ 0 ist, daß es also keine ganzen quadratintegrierbaren Funktionen außer der Nullfunktion gibt. Weitere unmittelbare Folgerungen aus dieser fundamentalen Ungleichung sind im nächsten Satz zusammengefaßt:

Aussage iv) des Satzes besagt genau, daß 𝒪² (G) der Bergman-Bedingung (Hilbertscher Funktionenraum) genügt. Daher besitzt 𝒪² (G) einen reproduzierenden Kern K (z, w) (Hilbertscher Funktionenraum). Die Kernfunktion K zu 𝒪² (G) heißt Bergmansche Kernfunktion (Bergman-Kern) des Gebietes G, der Raum 𝒪² (G) (kurz 𝒪²) der Bergman-Raum.

Für beschränkte Gebiete ist 𝒪² immer ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum, da z. B. alle Polynome zu 𝒪² gehören, und K ist dann eine von Null verschiedene Funktion. Ist andererseits G = ℂ, so ist nach der Bergmanschen Ungleichung der Raum 𝒪² einfach der Nullraum, die Theorie ist in diesem Fall inhaltsleer.

Die Bergmansche Kernfunktion K besitzt die folgenden Eigenschaften:

Ist (f_n) eine Folge in 𝒪²(G), die in 𝒪²(G) gegen f ∈ 𝒪²(G) konvergiert, d.h.\(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{\Vert {f}_{n}-f\Vert }_{2}=0\), so ist (f_n) in Gkompakt konvergent gegen f.

Studiert man das Verhalten des Bergman-Raumes und der zugehörigen Projektion unter konformen Abbildungen zwischen zwei Gebieten G und G′, dann erhält man eine wichtige Transformationsformel für die Kernfunktionen der beiden Gebiete, die sich für beschränkte Gebiete ebenfalls mit Hilfe der Bergman-Metrik formulieren läßt:

Es sei f : G → G*, z ↦ z*, eine konforme Abbildung, K und K* seien die Kernfunktionen der beiden Gebiete. Dann gilt\begin{eqnarray}K(z,\zeta )=\overline{F^{\prime} (z)}{K}^{\ast }(F(z),F(\zeta ))F^{\prime} (\zeta ).\end{eqnarray}

Ist nun G ein beschränktes Gebiet mit Kernfunktion K (z, ζ), dann ist durch \begin{eqnarray}d{s}_{G}:=\sqrt{K(z,z)}|dz|\end{eqnarray} eine Hermitesche Metrik, die sogenannte Bergman-Metrik des beschränkten Gebietes G, definiert.

Schließlich gilt folgendes Korollar.

Aus der Transformationsformel (1) folgt die konforme Invarianz der Bergman-Metrik:\begin{eqnarray}d{s}_{G}\circ F & = & \sqrt{k(F({z}^{\ast })F({z}^{\ast }))}|F^{\prime} ({z}^{\ast })||d{z}^{\ast }|\\ & = & \sqrt{{K}^{\ast }({z}^{\ast },{z}^{\ast })}|d{z}^{\ast }|=d{s}_{{G}^{\ast }}.\end{eqnarray}