Lexikon der Mathematik: Bernstein-Bézier-Darstellung
Darstellung eines Polynoms als Linearkombination von BernsteinPolynomen.
Ist g(x) ein Polynom vom Grad m, so ist seine Bernstein-Bézier-Darstellung die Linearkombination
Ist G(x1, …, xn) die multi-affine Polarform von g, so kann man die Koeffizienten ci aus
Ist \(g:{\rm{{\mathbb{R}}}}\to {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{m}\) eine polynomiale Kurve, so ist ihre Bernstein-Bézier-Darstellung komponentenweise definiert und liefert eine Darstellung der Kurve g als Bézier-Kurve. Die Koeffizientenvektoren sind dann ihre Kontrollpunkte.
Die geometrische Bedeutung der Bernstein-Bézier-Darstellung liegt unter anderem darin, daß man – im Gegensatz zur Linearkombination einer Polynomfunktion in der Monombasis – die k-Schmiegebene Sk(t) an zwei Stellen (t = 0 und t = 1) als affine Hülle von Koeffizientenvektoren ablesen kann: Es ist
Auch für rationale Kurven und Flächen gibt es eine Bernstein-Bézier-Darstellung, man spricht dann von rationalen Bézier-Kurven und -Flächen.
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